Un petit exercice ?

Sylvain

Bonjour,

je rappelle qu'un rayon de primalité $r$ de l'entier naturel $n$ supérieur à $2$ est un naturel tel que $n-r$ et $n+r$ sont tous deux des naturels premiers. On note $ord(n)$ la quantité définie pour $n>13$ comme le nombre de naturels premiers inférieurs à $\sqrt{2n-3}$. Montrer que si $n$ admet $1$ pour rayon de primalité, l'un au moins des entiers $n+P_{ord(n)}$, $n+2P_{ord(n)}$,... $n+p_{ord(n)+1}.P_{ord(n)}$ (où $P_{k}$ est le produit des $k$ premiers naturels premiers) admet également $1$ pour rayon de primalité.

Bon weekend à tous !

JLT

J'ai peut-être mal compris l'exercice, mais tu sembles vouloir faire montrer que si $n-1$ et $n+1$ sont premiers, alors il existe un entier $m>n$ tel que $m-1$ et $m+1$ sont premiers ? Dans ce cas cela impliquerait la conjecture des nombres premiers jumeaux ?

Sylvain

Oui, c'est le but en effet. Mais j'ai du mal à formuler la chose convenablement.

DE

T'es pas sérieux Sylvain !

Tu es en train de nous demander comment démontrer quelques choses de plus fort qu'une grosse conjecture !?

Et tu ne proposes en plus pas la moindre piste, ni la moindre idée !?

C'est une blague ?

Sylvain

Dé, es-tu d'accord pour dire :

1) qu'à chaque entier $n$ on peut associer le $ord(n)$-uplet formé des restes de la division de $n$ par les $ord(n)$ premiers naturels premiers ?
2) qu'il existe une infinité de tels $ord(n)$-uplets dont toute "coordonnée" est différente de $\pm 1$ modulo le nombre premier correspondant à la dite coordonnée quand $n$ décrit l'ensemble des naturels ?
3) que la condition énoncée en 2) est nécessaire et suffisante pour que $1$ soit rayon de primalité de $n$ ?
4) que si tu as répondu "oui" à 1), 2) et 3), il s'ensuit qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ?

JLT

Le point 2) est une reformulation de la conjecture des nombres premiers jumeaux.

l.g

bonjour
Sylvain, je pense que l'on peut dire aussi que si, il n'existe pas une infinité de premier jumeaux, alors la répartition des nombres de premiers, ne permet pas la suite en progression arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, dans les entiers naturels > 0 ...et on pourrait conclure que le TFA , n'aurait pu être démontré, et que le crible de Eratosthène serait faux.
donc on peut dire qu'il existe une infinité de premiers jumeaux,

un exemple sur la croix du crible d'Eratosthène dans les entiers naturels, congru 1 ou P modulo 30, avec p premier tel que 5 < p < 31.

la croix , est le produit X, de tous les premiers p > 5, tel que : p1,p2,......pn, jusqu'à une limite x, considérons que cette limite x, est la limite où ensuite les premiers q > pn, tel que q1,q2.....qn < aux produit X, sont extrêmement rares, il serait impossible de conjecturer que ses premiers, q1,q2,...qn empêche systématiquement la formation de couple de premiers jumeaux, car il faudrait qu'ils viennent systématiquement interférer autour de la croix X d'Eratosthène, et qui plus est, sur les couples de jumeaux.
et en réitérant la croix une infinité de fois, avec les nouveaux premiers qn, congrus 1 ou p [30] de sorte d'obtenir un produit X congru 23[30] pour garder la même croix X. (à noter que le produit peut être aussi congru 7[30], avec les même propriété et densité, de couple de pj et de premiers autour de la croix.

Sylvain

@JLT : le nombre de ces $ord(n)$-uplets est donné par $\prod_{2<p\leq p_{ord(n)}}(p-2)$, quantité tendant vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.

DE

Dans le même genre, on peut considérer les deux propriétés suivantes :

1) Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
2) Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Le point 1) est bien sûr la conjecture des nombres premiers jumeaux. J'ai réussi à démontrer que 1) et 2) sont équivalents. Par conséquent, pour montrer la conjecture des nombres premiers jumeaux, il suffit de montrer le point 2). Quelqu'un a une idée ?

JLT

@Sylvain : tes messages n'apportent rien de plus que le dernier message de Dé. Je ne sais pas si tu es en train de troller, mais en supposant que non : il n'est bien sûr pas exclu qu'il existe une solution élémentaire de la conjecture des nombres premiers jumeaux, mais s'il existait une telle solution en moins de 5 pages, vu le nombre de gens qui y ont réfléchi quelqu'un l'aurait trouvée.

Sylvain

JLT, tu n'es pas d'accord avec l'expression que j'ai donnée ? N'es-tu pas convaincu qu'elle tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini ? Après, peut-être qu'il y a une grosse faille dans mon argument que je suis incapable de voir. Mais alors, dis-moi précisément où elle est.

DE

Si tu penses avoir une preuve tu peux toujours la donner. J'ai pas vraiment envie de me casser la tête à décrypter ton truc. Vu de loin ça a l'air d'être un joyeux charabia.

JLT

Comme tes assertions ne sont pas très précises, on n'est pas absolument sûr de ce que tu veux dire, mais apparemment tu considères pour tout entier $n$ un certain $ord(n)$-uplet $f(n)$, et une reformulation de la conjecture est qu'il y a une infinité d'entiers $n$ tels que toutes les coordonnées de $f(n)$ sont différentes de $1$ et $-1$. Jusque là d'accord.

Maintenant, la longueur de $f(n)$ dépend de $n$, et tend même vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini. L'application $n\mapsto f(n)$ est une application de $\N$ à valeurs dans un ensemble infini, et il n'y a aucune raison combinatoire pour qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que toutes les coordonnées de $f(n)$ sont différentes de $1$ et $-1$.

DE

On dirait qu'il y a une confusion entre le nombre de ord(n) vérifiant une certaine propriété et le cardinal de l'ensemble dans lequel vit chacun des ord(n) vérifiant la propriété en question.

DE

Si tu veux vraiment t'attaquer à des conjectures, je pense que tu devrais plutôt t'attaquer à des conjectures de combinatoire. Il me semble qu'il est assez fréquent que certaines d'entre elles se résolvent avec des moyens élémentaires une fois qu'on est tombé sur la bonne vision du problème.

Un arithméticien et un combinatoriste pour confirmer ou informer ?

gerard0

Bonjour Sylvain.

J'aimerais comprendre ton raisonnement. Pour n grand (supérieur à 13, mais je en vois pas pourquoi), tu définis $ ord(n)$ comme le nombre de naturels premiers inférieurs à $ \sqrt{2n-3}$. Par exemple, pour n=50, c'est le nombre de premiers inférieurs à $\sqrt{97}$, ces premiers étant 2,3,5 et 7. Donc $ord(50)=4$.

Ensuite, tu prends un entier n compris entre deux premiers (donc n-1 et n+1 sont des premiers jumeaux), par exemple n=30 ($ord(30)=4$) et tu dis que l'un des entiers $30+2\times 3 \times 5\times7,~30+2\times2\times 3 \times 5\times7,~30+3\times2\times 3 \times 5\times7,~30+4\times2\times 3 \times 5\times7, ..$ (je n'ai pas compris ta notation du dernier terme) est entouré lui aussi de deux premiers.

Si tu en as une preuve, c'est génial ! Sinon, ce n'est pas un exercice, c'est un troll.

Cordialement.

GreginGre

Sylvain, un fil précédent montre que tu as des problèmes avec la logique élémentaire. Sachant cela, crois-tu qu'il soit raisonnable de t'attaquer à quelque conjecture que ce soit?

DE

Ah oui au fait c'est résolu cette histoire où tu montrais que les cercles n'étaient pas rond ?

gerard0

Je reprends la suite de tes explications :
"1) qu'à chaque entier $ n$ on peut associer le $ ord(n)$-uplet formé des restes de la division de $ n$ par les $ ord(n)$ premiers naturels premiers ?"
Donc à 50, tu associes (0,2,0,1). et à 30 le quadruplet (0,0,0,2)
"2) qu'il existe une infinité de tels $ ord(n)$-uplets dont toute "coordonnée" est différente de $ \pm 1$ modulo le nombre premier " Là je ne comprends plus : quel nombre premier ? Ou alors, tu veux simplement dire "2) qu'il existe une infinité de tels $ ord(n)$-uplets dont toute "coordonnée" est différente de $ \pm 1$" ?
"3) que la condition énoncée en 2) est nécessaire et suffisante pour que $ 1$ soit rayon de primalité de $ n$ ?" Là je ne connais pas la propriété, mais en gros ça revient à dire que si n-1 et n+1 ont des diviseurs propres, ils sont dans les ord(n) premiers entiers.

Donc reste à prouver le "2) qu'il existe une infinité ..." Comment le fais-tu ?

Cordialement.

Sylvain

A $ord(n)$ fixé, l'ensemble des $ord(n)$-uplets formés de la manière dont je l'ai indiqué est en bijection avec l'ensemble des naturels de $[0,P_{ord(n)}-1]$.
@gerard0 : pour $n<14$ il existe des entiers différents ayant le même $ord(n)$-uplet (par exemple 6 et 12). Cela vient du fait que dans ce cas l'inégalité $n<P_{ord(n)}$ n'est pas assurée.

DE

Et si tu arrêtais de te moquer de nous ?

Sylvain

En quoi je me moque de toi ou d'autres ? J'ai peut-être mal formulé l'"exercice", mais je n'empêche personne d'en rendre la formulation rigoureuse, j'essaie d'expliquer mon approche.
Je reprends.
Avec l'exemple de gerard0, $n=30$, on obtient effectivement $ord(n)=4$, et le $ord(n)$-uplet associé est $(0,0,0,2)$.
Considérons maintenant les $ord(n)+1$-uplets $(0,0,0,2,0)$, $(0,0,0,2,2)$, $(0,0,0,2,3)$, $(0,0,0,2,4)$, $(0,0,0,2,5)$, $(0,0,0,2,6)$, $(0,0,0,2,7)$, $(0,0,0,2,8)$, $(0,0,0,2,9)$.
Ils correspondent à neuf entiers de $[0,2309]$, respectivement 660, 1080, 1290, 1500, 1710, 1920, 2130, 30, 240. Parmi ces nombres, l'un au moins, 660, est supérieur à 30 et admet 1 pour rayon de primalité.
De fait $ord(660)=11$ et le $11$-uplet associé est $(0,0,0,2,0,10,14,14, 16, 22, 9)$. Toutes les coordonnées sont bien différentes de $\pm 1$ modulo les $11$ premiers nombres premiers.

Voilà, j'ai donné les idées à utiliser. Le but de mon "exercice" (aurais-je dû dire "problème" ?) que j'ai tenté d'énoncer du mieux que j'ai pu est de traiter le cas général rigoureusement. Et si j'étais capable de le faire, je n'aurais pas mis un point d'interrogation dans le titre. En s'y mettant à plusieurs, il y a peut-être moyen d'y arriver, c'est en tout cas ce que je souhaite.

Sylvain

En fait, je pense qu'il suffit de considérer les $k$-uplets de longueur égale à $ord(P_{ord(n)}-1)$ dont toutes les coordonnées sont différentes de $\pm 1$ (modulo...), parmi lesquels l'un a les $ord(n)$ premières coordonnées égales à celle du $ord(n)$-uplet associé à $n$. Il existe ainsi un entier $m>n$ admettant $1$ pour rayon de primalité. Non ?

JLT

Sylvain, si tu veux convaincre quelqu'un de suivre une piste, il faudrait que tu aies réussi à démontrer rigoureusement et complètement au moins un lemme intéressant et difficile.

gerard0

Désolé, Sylvain,

je ne te suis plus : Tu ne mets pas en application ce que tu disais. Si la façon de faire change à chaque fois, difficile de dire que tu traites une question.

D'autre part, tu présentes une idée qui n'est peut-être pas nouvelle, mais sur laquelle tous tes prédécesseurs se seraient cassé les dents. tu dis toi-même que tu n'es pas capable de la prouver. D'accord, mais pourquoi parler d'exercice (même avec un point d'interrogation, ce n'est pas sérieux) ? Et ne rêves pas, tu ne sais même pas si ce que tu veux faire prouver par les autres est vrai !!

Cordialement.

JLT

En tout cas, avant de proposer un "exercice" que tu ne sais pas démontrer, il faudrait que tu te convainques qu'il est vrai, par exemple en le vérifiant informatiquement pour $n\le 10^6$. L'as-tu fait ici ?

DE

Ta démarche est assez proche de celle de Pablo en fait.

Sylvain

Tiens c'est curieux, il y a des posts (notamment de gerard0 et de Greg) que je n'avais pas vus.
@gerard0 : la $i$-ème coordonnée (donc $n \ \ mod \ \ p_{i}$) doit être différente de $1$ et de $p_{i}-1$. Je pensais que c'était clair.
@Greg : je n'ai jamais suivi de cours de logique. Je te rappelle que j'ai fait des études de physique, pas de maths. Et je crois que tu as raison, je ferais mieux de laisser tomber tout ça. Bonne continuation à tous.

DE

Oui enfin on parle là de logique élémentaire. Quelque chose qui sert aussi en physique ou quand on choisit un candidat pour les élections... Tu as regardé tes cercles pas rond ? Je pense que comprendre ce qu'il se passe ne te prendrait pas beaucoup de temps.

bs

Bonsoir,

"... je ferais mieux de laisser tomber tout ça. Bonne continuation à tous." = message subliminal ?

Amicalement.

JLT

@Sylvain : rien ne t'empêche, comme 99 % des autres participants du forum, de continuer les maths mais en te fixant des objectifs moins ambitieux. Si ça t'intéresse bien entendu.

DE

JLT écrivait:

---

> @Sylvain : rien ne t'empêche, comme 99 % des
> autres participants du forum, de continuer les
> maths mais en te fixant des objectifs moins
> ambitieux.

Notons que dans le 1% on trouve Pablo, Jamel Ganouchi etc.

Notons également que 99.9% des mathématiciens professionnels se fixent des objectifs moins ambitieux.

Cela dit être ambitieux n'est pas vraiment gênant. Mais il faut ensuite se donner les moyens de ses ambitions. Et puis, il y a tout de même un tas d'autres très belles conjectures plus abordables.

clothoide

Bonsoir à tous,

Je refréquente un peu le Forum depuis peu, après l'avoir délaissé (avec les mathématiques). Et je crois me souvenir que Sylvain est un intervenant attachant de ce Forum. Aussi, je vous trouve un peu "dur" avec lui, sur son niveau en mathématiques, et dans ce fil.

N'y connaissant pas grand chose en arithmétique, je suis bien incapable de l'aider ; seulement, l'un des objectifs de ce Forum n'est-il pas la mutualisation des connaissances accessibles au plus grand nombre?

Après, et sur le principe, je serais d'accord avec vous, il faut être capable de comprendre les réponses qui sont faites aux questions posées. Et c'est un autre débat...

C'est juste un avis, et rien d'autre.

Bien cordialement,
Clotho

JLT

Tout le monde a le droit de s'exprimer sur ce forum, quel que soit son niveau. Ce qui est critiquable, en revanche, c'est de présenter comme un "exercice" une assertion qui est presque trivialement équivalente à une conjecture très ardue. Il n'est bien entendu pas interdit aux mathématiciens amateurs de chercher des problèmes difficiles, mais si on n'est pas capable de faire mieux que de dire des trivialités dessus, ça devient une perte de temps. Il vaut mieux apprendre autre chose (par exemple le japonais, au hasard), ou bien faire des maths plus faciles, ce qui n'a rien de déshonorant et peut procurer certaines satisfactions.

clothoide

@JLT : rien à redire, je suis d'accord avec toi sur toute la ligne. Je ne m'exprimais que sur ce fil de Sylvain que j'ai parcouru (encore une fois) sans même comprendre son énoncé initial...Ce qui ne m'empêche pas de faire des mathématiques intéressantes, à mon niveau, avec une affinité particulière pour l'analyse. Je ne consulte presque jamais la section arithmétique et algèbre du Forum.

Et quand je peux aider, je le fais volontier. Mais les occasions sont assez rares : )

Bien cordialement,
Clotho

DE

Clotho : on déconseillerait de la même manière à un ancien major d'Ulm de se consacrer exclusivement à d'aussi grosses conjectures.

Rien de déshonorant donc

Jimmy

Je trouve excessivement abusif de comparer les découvertes de Jamel Ghanouchi qui sont publiées dans des peer reviews (elles ont été lues par des referees avec des rapports, etc...) avec celles de Pablo et compagnie qui ne dépassent pas le cadre des forums et ne convainquent même pas des forumeurs amateurs... A ma connaissance, vous admettez comme vraies des démonstrations dès qu'elles ont été publiées, mais vous êtes mauvais joueurs, car dès qu'il s'agit d'un article de Jamel, les journaux ne sont plus suffisants ! Puis-je savoir ce que vous considérez comme une référence ? Vous affirmez que la démonstration doit être publiée par une peer review et dès que c'est le cas, n'ayant plus d'argument mathématique solide, vous vous cantonnez à évoquer des posts ouverts il y a des années : qui vous dit que Jamel n'a pas progressé depuis, n'a pas évolué positivement ?

Eric Chopin

Jamel (ou jimmy ;-) ), tu es mal placé pour critiquer Pablo, vu les innombrables erreurs de calcul
élémentaire que tu as pu nous présenter sur ce forum et tu n'as jamais pu faire un seul message détaillé de tes
soi-disant découvertes sans faire ce type d'erreurs de niveau lycéen.

Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'intervenants sérieux sur ce forum qui pense
qu'un article serait sans erreur au seul motif qu'il est publié dans Annals of Maths ou dans le Crelles,
mais au moins il a passé un certain filtre garantissant que le ou les auteurs ont fait
leur travail avec une démarche scientifique sérieuse. Et en effet ca ne suffit pas
(et pas que pour toi Jamel) pour garantir l'absence d'erreur.

Eric

Jimmy

Eric, c'est ce que je vous reproche : vous avez divisé le monde des mathématiques en bons mathématiciens (ceux qui vivent en Occident, grosso modo) et en mauvais (ceux qui travaillent dans le reste du monde) ! Comment peux-tu comparer des articles écrits avec la plus grande attention, qui ont été corrigés à maintes reprises, excempts de fautes, avec des interventions dans un forum où l'écrit comme on parle, sans faire attention ni au calcul et ses inévitables fautes ni même à l'orthographe ? Tu sais que j'écris des livres, tu sais aussi qu'un ouvrage accepté et publié par une maison d'édition n'a rien à voir avec un vulgaire commentaire dans un forum truffé de fautes de frappe et d'inattention ! On n'est pas aussi attentif, aussi concentré lorsque l'on passe officiellement un concours du type agrégation que lorsque l'on résoud un problème dans une prépa d'agreg, par exemple : les enjeux ne sont pas les mêmes... On n'est pas aussi motivé lorsqu'on écrit un article pour être publié que lorsque l'on poste un commentaire dans le forum ! Quel que soit ce commentaire, il ne demande pas le même engagement que lorsque la vie est en jeu (comme lorsque l'on passe l'agreg) : Arrêtez de me cantonner à mes interventions dans ce forum, jugez-moi sur mes articles et mes livres ! Moi en tout cas, je suis le premier à avancer que j'ai posté dans ce forum des commentaires truffés de fautes, mais reconnaissez que je vaux bien plus que mes interventions dans ce forum ! Et, concernant les autres intervenants, je ne les connais pas tous, mais s'ils publient dans des peer reviews, je leur dis : chapeau !

JLT

Jimmy,

dans
http://vixra.org/pdf/1111.0027v3.pdf

tu as écrit

Jimmy

JLT,
Connais-tu vixra ? C'est l'alternative à arxiv (arxiv va publier un article de moi cette semaine) ! Les articles n'y sont pas référés. De plus, on y a le droit de proposer des remplacements ! Ce calcul est issu d'un copier-coller où une erreur s'est incrustée ! J'en suis désolé pour vixra, mais cet article, qui n'a jamais été publié et ne le sera jamais parce qu'aucune peer review ne l'aurait accepé et c'est pourquoi je l'ai envoyé à vixra, comporte encore des erreurs... Encore une fois, ce n'est pas un article pour peer review ! Mais enfin, ne me dites que vous êtes toujours en forme et ne commettez jamais de fautes ! Moi, j'en commets beaucoup, comment l'éviter lorque l'on remplit des milliers de pages de calcul chaque année ?

ev

Idem pour l'orthographe (page 8, ibidem) "If we sustract 1"...

e.v.

Jimmy

ev, si tu vas corriger mes fautes d'anglais (qui comprennent l'orthographe), on n'est pas sorti de l'auberge ! JLT, la preuve que j'avance dans cet article reste valable, poursuis les calculs jusqu'à l'ordre a-3 en simplifiant à chaque fois : on se retrouve à un certain moment avec un nombre pair à droite et un impair à gauche !

aléa

"vous avez divisé le monde des mathématiques en bons mathématiciens (ceux qui vivent en Occident, grosso modo) et en mauvais (ceux qui travaillent dans le reste du monde) !"

C'est un procès d'intention. Par contre, quand je lis un abstract avec " we propose here not really a proof as it is entended classically", j'avoue avoir une forte appréhension, en effet.

Chacun a le droit de s'amuser avec les maths comme il veut, elles n'appartiennent à personne, mais il me semble qu'il y a une contradiction évidente à espérer une reconnaissance d'une communauté tout en s'affranchissant de ses règles.

remarque

vous avez divisé le monde des mathématiques en bons mathématiciens (ceux qui vivent en Occident, grosso modo) et en mauvais (ceux qui travaillent dans le reste du monde)

Ca sera bien si c'était aussi simple, mais en fait il y a de très bons mathématiciens qui ne vivent pas en occident. Ne généralise pas ton cas.

JLT

Jamel,

peux-tu donner le lien vers le texte intégral d'un de tes articles qui a été accepté dans une revue de math ?

Jimmy

Regarde, JLT, ceci est mon dernier post pour ne pas polluer le fil de Sylvain ! Dans le cas le plus général (tu prends le cas y=1) et si la précipitation ne m'induit pas en erreur :
$$2^{a+1}x^{a+1}=(x+y)^{a+1}+(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^mx^{a-m})}$$
$$=(x+y)^{a+1}+(x-y)(2^ax^a+2^{a-1}(x+y)x^{a-1}+...+2(x+y)^{a-1}x+(x+y)^a)$$
And
$$2^{a+1}y^{a+1}=(x+y)^{a+1}-(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^my^{a-m})}$$
We deduce
$$2^{a+1}(x^{a+1}-y^{a+1})=(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(x^{a-m}+y^{a-m}))}$$
And
$$2^{a+1}({\alpha}x^{a+1}-{\beta}y^{a+1})=(\alpha-\beta)(x+y)^{a+1}+(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m({\alpha}x^{a-m}+{\beta}y^{a-m}))}$$
$\forall{\alpha,\beta}$ particularly
$$2^{a+1}({\alpha}x^{a+1}-{\beta}y^{a+1})=0$$
$$={\beta}(\frac{y^{a+1}}{x^{a+1}}-1)(x+y)^{a+1}+(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m{\beta}(\frac{y^{a+1}x^{a-m}}{x^{a+1}}+y^{a-m}))}=0$$
$$\frac{\beta}{x^{a+1}}((y^{a+1}-x^{a+1})(x+y)^{a+1}+(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(y^{a+1}x^{a-m}+x^{a+1}y^{a-m}))})$$
$$(x^{a+1}-y^{a+1})(x+y)^{a+1}=(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(y^{a+1}x^{a-m}+x^{a+1}y^{a-m}))}$$
And
$$2^{a+1}(x^{a+1}-y^{a+1})(x+y)^{a+1}=2^{a+1}(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(y^{a+1}x^{a-m}+x^{a+1}y^{b-m}))}$$
$$=(x+y)^{a+1}(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(x^{a-m}+y^{a-m}))}$$
And
$$2^a(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m}(x+y)^m(y^{a+1}x^{a-m}+x^{a+1}y^{b-m}))}$$
$$=(x+y)^{a+1}(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m-1}(x+y)^m(x^{a-m}+y^{b-m}))}$$
Un nombre pair d'un côté, impair de l'autre pur $a\geq{1}$

JLT

Jamel,

je crois que Sylvain ne souhaite plus participer au forum donc ces discussions
ne devraient pas le déranger.

Tu écris :

---

$$=(x+y)^{a+1}(x-y)\sum_{m=0}^{m=a}{(2^{a-m-1}(x+y)^m(x^{a-m}+y^{b-m}))}$$
Un nombre pair d'un côté, impair de l'autre pour $a\geq{1}$

---

Prenons $a=1$, $x=2$, $y=1$. Le membre de droite devient
$$3^2((2+1)+\frac{1}{2}(3)(1+1))$$
qui est un nombre pair et non un nombre impair comme tu le prétends.

remarque

@ JLT : tu perds ton temps.

Jimmy

JLT, Je peux me tromper, mais la somme est plutôt : $3^2((2+1)^0+\frac{1}{2}(3)(1+1))=3$ et est bien impair ! Je peux me tromper, mais tu as élevé $3+1$ à la puissance $1$ pour $m=0$...

Jimmy

Bon, ramarque commence avec ses INSULTES ! C'est moi qui perds mon temps, vieux, en parlant à des gens comme toi (je m'adresse à remarque !) ! Ton calcul est cependant juste, JLT ! Mais, réfléchis bien à ce que tu as donné : $a=1$ et $x=2$ correspondant à la solution de l'équation de Catalan !