Cotangente hyper - bolide.

ev

Bonsoir,

Suite à ce fil où les intervenants ont fait assaut de virtuosité, Je me suis posé la question suivante :

Est-ce que la fonction $$f_n : x \longmapsto \dfrac1x + \sum_{k=1}^n \dfrac{2x}{x^2+k^2}$$
est décroissante sur $]0,+\infty[$, $n$ désignant un entier naturel ?

Des essais semblent le prouver, mais je n'arrive pas à coincer la bonne récurrence.
Des idées ? Mieux : des références ?
amicalement,
e.v.

zephir

Bonsoir,

En calculant avec MAPPLE le numérateur de $f_{10}'$, on trouve un polynôme dont tous les coefficients sont négatifs.
Je ne sais pas si cela fera avancer le schmilblic.

Amicalement,
zephir.

ev

C'est ce que je pense aussi. Je viens de songer qu'on pouvait aussi essayer de démontrer que toutes les racines du numérateur sont irréelles.

amicalement,

e.v.

gb

Il me semble que toutes les racines sont imaginaires pures.

ev

nq!vlkdfn,!glrkjg!lv;, :sd;f,:el,f:s;, c:;q:d;!!!!!!

et je pèse mes mots !

merci gb !

amicalement,

e.v.

gottfried0

bonsoir je dois rater un truc évident, mais comment voyez-vous que les racines du numérateur de la dérivée sont imaginaires pures? (je sens que je vais manger mon chapeau). Sinon, je crois que j'ai une preuve de la décroissance mais c'est un peu compliqué.

zephir

@Gottfried : remplace $x^2$ par $-t$ et regardes la fonction de $t$.
@ev : réponse exacte !

ev

Bonsoir Gottfried.

Ben j'avais cru voir, et c'est pas vrai. Pour $n=1$, j'ai $f_1(x) = \dfrac1x + \dfrac{2x}{x^2+1}$
donc $f_1^\prime(x) = -\dfrac1{x^2} - 2 \dfrac{x^2-1}{(x^2+1)^2} = -\dfrac{3x^4+1}{x^2(x^2+1)^2} $.
Et on ne peut pas vraiment dire que les racines de $3x^4+1$ soient imaginaires pures.

amicalement,

e.v.

ev

Bon, c'est l'heure où je calcule n'importe comment.

gottfried0

@zephir: je ne comprends pas... n'est-ce pas là un argument pour montrer que...

@ev: ... le numérateur de f a toutes ses racines imaginaires pures, et c'est vrai que par ailleurs il suffirait de montrer que le numérateur de la dérivée n'a lui pas de racine réelle positive...

à propos, mon approche perso s'est effondrée.

JLT

La fonction $f_\infty$ est décroissante.

En dérivant, on voit facilement que $f_n$ est décroissante sur $[n,+\infty[$.

Sur $[0,n]$, $f_n=f_\infty+(f_n-f_\infty)$ est la somme de deux fonctions décroissantes.

zephir

Bien vu JLT.

ev

@ JLT Bravo ! Tu as appris ça chez les Sioux ?

Bon, il me reste reste à comprendre pourquoi les racines sont imaginaires pures, même si l'exercice est mort.

amicalement,

e.v.

gottfried0

bravo JLT! pendant ce temps là j'essayais de faire mon apprenti Eisenstein en manipulant f au carré, mais bon... ça paraissait facile pourtant quand je l'ai lu il y a longtemps, et maintenant... il ne reste plus rien...

@ev: si tu parles des racines de f elles sont imaginaires pures car ce sont les racines de la dérivée du polynôme dont les racines sont les ik qui sont toutes imaginaires pures; mais tu parlais peut-être d'autre chose

bonne nuit

gb

@ ev : Après vérification de mes calculs, mon idée ne fonctionne pas.