Une question de signe...

Bonjour,

Comment feriez-vous pour justifier rapidement la positivité de l'expression $\ln(1 +t \sin t)$ lorsque $t\in[0,1/2]$ ?

En partant du célèbre $-1 \leq \sin t \leq 1$, on aboutit à $\dfrac{1}{2} \leq 1+t \sin t \leq \dfrac{3}{2}$ : ce qui me pose un léger soucis par passage au logarithme. En effet, dans ce cas, on obtient des valeurs négatives...

Mais je ne vois pas mon erreur. Le sinus est bien sans valeur absolue.

Merci pour un éclairage salutaire.

Bien cordialement,
Clotho

Réponses

  • Salut Clotho,

    Il n'y a pas d'erreur, ton encadrement est vrai, simplement il est trop grossier pour conclure. Il faut encadrer un peu plus finement (enfin rien de compliqué non plus) le sinus pour obtenir quelque chose d'exploitable (n'oublie pas que tu ne t'intéresse qu'à l'intervalle $[0,1/2]$).
  • Bonjour,
    Pour $t\in [0,1]$, on a $t\sin t\ge 0$, donc ...

    edit : Grillé par Egoroff :-(
  • Bonjour

    Si $t\in [0,1/2]$, on a $0\leq t\sin(t)$ donc $1\leq 1+t\sin(t)$.

    ... Bonne dernière!
  • Merci à vous tous, j'avais oublié cette évidence : à savoir que pour $t\in[0,1] \quad t \sin t \geq 0$.
    Ce qui règle mon affaire de signe. Je vais me la renoter quelque part, cette inégalité, bien utile à connaître...

    A bientôt
    Clotho
  • Mais il n'y a rien à noter, Clotho. Il est bien plus utile de se souvenir des intervalles où le sinus est positif...
  • @egoroffski : je viens de finir mon "cogito" sur ta dernière suggestion. Et sauf erreur de ma part, je condense sous la forme suivante l'ensemble des intervalles où le sinus est positif : $\bigcup_{k\in \mathbb{N}} [2k\pi, (2k+1) \pi]$. Tu es d'accord avec moi?

    edit : Mais au risque de paraître idiot, je ne vois pas comment faire le lien avec l'inégalité dont j'avais besoin.
    edit1 : nos réponses se sont croisées, et tu viens donc de répondre à mon premier édit.
  • Farpaitement d'accord. En particulier, il l'est sur $[0,\pi]$, qui contient largement $[0,1/2]$.
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