Développement asymptotique

taupindebase

Bonsoir,

Dans un exercice, on demande de prouver l'égalité suivante :

$\frac{1}{(e^x-1)^n} = \frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+O(1). $

puis de préciser la valeur des coefficients $a_1$ et $a_n$.


L'existence du DL asymptotique ne me pose pas de problème, ni la valeur de $a_n$ qui est $1$.

Toutefois, je peine pour trouver la valeur de $a_1$. Quelques essais avec Maple semblent suggérer que
$a_1=1$ mais je n'arrive à trouver une méthode simple pour le voir.

gottfried0

En fait, la personne qui a créé l'exo connaît la formule d'inversion de Lagrange... indication: écrire $x = \log(1+y)$

[La case LaTeX. AD]

gottfried0

désole pour la case LaTeX dans mon message précédent

je me demande si l'exo est faisable sans connaître le principe de la méthode d'inversion de Lagrange, et la notion de résidu. Ou alors peut-être en recopiant une des preuves (artificielles) de la formule d'inversion de Lagrange qui contourne le problème de parler de résidu (on n'a pas besoin de résidu au sens des intégrales de contours dans le plan complexe, il faut juste la notion de résidu d'une série formelle et ses lois de transformations par changement de variable uniformisante)

gottfried0

difficile donc de donner une indication comme $x=\log(1+y)$ en pensant que la personne qui n'a jamais vu l'inversion de Lagrange saura aller jusqu'au bout: il faut que je dise aussi de multiplier par $x'(y)$ et de s'imaginer alors faire un développement asymptotique en puissances inverses de $y$. Seul le premier terme aura un résidu non nul, les suivants sont des dérivées.

gottfried0

ah oui... mais quelle arnaque cet exo: on peut s'intéresser à la somme $\dfrac1{(e^x-1)^{n+1}}+\dfrac1{(e^x-1)^{n}}$. Que peut-on dire d'intéressant sur cette somme? (penser «dérivée»). En déduire une relation de récurrence entre deux $a_1$ successifs. (trouver cette preuve ne peut pas être envisageable par quelqu'un qui ne connaît pas déjà le résultat! je connaissais le résultat à prouver, car je l'ai obtenu via l'idée de Lagrange, j'en ai déduit la preuve apparemment intelligente, mais en réalité stupide) (vive le bachotage! celui qui réussit un concours en répondant par le truc ci-dessus est juste quelqu'un qui a eu la chance qu'on le lui donne avant; même Galois aurait eu beaucoup de mal à le trouver par lui-même en moins de dix minutes à un tableau en situation de stress)

gottfried0

bon je m'emballe peut-être. Sans doute Galois aurait eu l'idée de dériver en espérant que cela fasse passer de $n$ à $n+1$. Oui, on peut trouver le résultat ainsi. Mais on rate le lien avec Lagrange. Lui, Lagrange il a laissé un Théorème pour les millénaires à venir. Les autres ont résolus des exercices en s'imaginant être brillants.

gottfried0

la méthode de la dérivée permet de donner des formules de récurrence passant de $n$ à $n+1$ (tandis que multiplier par $e^x-1$ donne des récurrences dans l'autre sens). Ainsi je trouve (sauf erreur) $\displaystyle a_2 = (-1)^n (1+\frac12+\dotsb+\frac1{n-1})$ pour $n>1$.

taupindebase

Merci pour toutes ces réponses.

Si on note $a_{1,n}$ le coefficient en 1/x dans le DL asymptotique de $(e^x-1)^{-n}$,
finalement la bonne conjecture est $a_{1,n}=(-1)^{n+1}$.

J'avais pensé à dériver la relation mais ensuite, il me semblait que la formule
$(e^x-1)^{-n-1}=-\frac{1}{n}e^{-x}\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^x-1)^{-n}$
nécessitait de connaître tous les $a_{k,n}$ pour trouver $a_{1,n+1}$.

La meilleure idée reste de calculer $\frac{1}{(e^x-1)^n}+\frac{1}{(e^x-1)^{n+1}}$, qui permet
de voir que $a_{1,n}+a_{1,n+1}=0$.

C'est un exercice d'oral Mines-Ponts, effectivement plutôt astucieux à ce niveau.

Archimède

On développe en série de Laurent $\frac{1}{e^x-1}$ :
$$\frac{1}{e^x-1} = \frac{1}{x}+\sum_{k=0}^{+\infty} a_k\,x^k$$
On peut calculer les premiers coefficients.
Ensuite on met $\frac{1}{x}$ en facteur et on élève à la puissance $n$.
$$\frac{1}{x^n}\;\left(1+\sum_{k=1}^{+\infty} a_{k-1}\,x^k\right)^n$$
On est alors amené à faire le produit de $n$ séries. Ce produit esr égal à la somme de la série produit.

PS Si vous ne connaissez pas les séries entières, on peut faire la même chose avec les développements limités.