Passage au logarithme...

clothoide

Bonjour,

1°) Afin de prouver l'inégalité suivante, lorsque $t \in [0, \sqrt{n}[$ : $ \forall n \in \mathbb{N}^* \quad (1-t^2/n)e^{-t} \leq (1-t/n)^{n}$, j'ai besoin d'étudier la fonction définie par la différence des logarithmes de chacun des deux membres de cette inégalité.

Et c'est l'objet de ma question, avant d'effectuer le passage au logarithme sur mon inégalité, je dois bien mentionner auparavant que la quantité $(1-t^2/n)e^{-t}$ est strictement positive pour $t \in [0, \sqrt{n}[$ : ce qui rend la composition de mon inégalité par la fonction $\ln$ licite. Oui?

2°) Rien à voir, mais je bloque sur un truc tout simple. Comment montrer que $e^{\ln^{\alpha} n} = n^{\ln^{\alpha-1} n}$? Mon inspiration s'arrête à $\ln^{\alpha} n = \ln^{\alpha-1} n \times \ln n$. Et après, c'est le blocage complet...

Merci pour votre aide,
Cordialement,
Clotho

egoroffski

Salut Clotho,

Content de te revoir sur le site

1) Tu risques d'avoir du mal à montrer que $(1-t^2/n)e^{-t} >0$ pour tout $t \in [0,\sqrt{n}]$, il y a une des bornes où c'est faux. En revanche une fois enlevée cette borne, ça devient vrai. Et oui il faut le vérifier avant d'appliquer $\ln$.

2) Pour $a,b$ réels, $a>0$, quelle est la {\bf définition} de $a^b$ ?

Magnolia

Bonjour

1) Oui, bien sur, il faut que ce soit positif, $1-(t/n)$ aussi, d'ailleurs!

2) $n=e^{\ln(n)}$

clothoide

Salut Egoroffski,

Ben oui, je me remets un peu au math en refaisant mes classiques!
Pour mon 1), je viens de modifier, et tu as (bien entendu) raison, je dois exclure la borne $\sqrt{n}$ de mon intervalle, sinon ma quantité devient nulle.

Pour ma question 2), "shame on me", je sais bien que $a^b=e^{b\ln a}$ si mes réflexes sont encore corrects (un petit doute tout de même)?

clothoide

@Magnolia.
Si j'ai une inégalité du type $A \leq B$, et que j'ai auparavant prouvé que $A>0$, on a nécessairement $B>0$, non?
Pour faire le lien avec ma question, dans mon esprit, et sauf erreur de ma part, la positivité stricte de la quantité $1-\dfrac{t^2}{n}$ implique celle de $1-\dfrac{t}{n}$.

Edit : toutes mes excuses Magnolia, c'est toi qui a raison, je dois bien entendu prouver la positivité des DEUX quantités. Je me suis servi à tort de la conclusion à laquelle je souhaite aboutir pour prouver la positivité de ma seconde quantité : erreur classique. Je bloque tjs sur ma question 2, malgré le rappel d'egoroffski.

Magnolia

... je croyais que tu voulais démontrer l'inégalité! je dis simplement que avant de prendre le logarithme tu dois bien écrire que les deux membres sont positifs.

clothoide

Pour ma question 2), je crois que c'est bon.
On écrit simplement que $e^{\ln^{\alpha} n} = e^{\ln^{\alpha-1} n \times \ln n} = (e^{\ln n})^{\ln^{\alpha-1} n} = n^{\ln^{\alpha-1} n}$

Pour ma question 1), pour prouver la positivité de la quantité $(1-t/n)^n$ lorsque $t \in [0,\sqrt{n}[$, à partir d'encadrements. C'est difficile de conclure directement en partant de l'hypothèse : $0 \leq t < \sqrt{n}$. Par contre, en tenant compte du fait que: $\forall n \in \mathbb{N}^* \quad \sqrt{n} \leq n$, l'hypothèse de départ implique l'inégalité "plus large" suivante : $0 \leq t \leq n$, qui permet d'aboutir à l'encadrement $0 \leq 1-t/n \leq 1$ (1). Et par composition de (1) avec la fonction puissance, on arrive bien à $0 \leq (1-t/n)^n \leq 1$ : ce qui permet de conclure.

Qu'en pensez-vous?
Merci

gerard0

Effectivement, Clothoïde.

Enfin, petite correction : Tu dois avoir une inégalité stricte du côté du $0$, puisque tu veux passer au $\ln$.
Plus simplement, la fonction affine $1-\frac t n$ est négative après la racine n et positive avant. Or $[0, \sqrt n[$ est avant la racine.

Cordialement.

clothoide

Bonsoir Gérard,

Mais oui, c'est encore plus simple avec la fonction affine! J'y avais pas pensé.
C'est noté pour l'inégalité stricte du côté de 0.

Merci
Cordialement,
Clotho