point fixe dans A_5
dans Algèbre
Bonsoir,
malgré l'aide que j'ai obtenu, je n'arrive pas à finir cet exercice (question 2 et 3). Merci à ceux qui auront le temps de me corriger :
$\alpha$ est un produit de transpositions disjointes et $\beta$ un $3$-cycle qui est forcément le produit d'un nombre pair de permutations, c'est à dire un élément du groupe alterné $A_5$
Donc $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à $A_5$.
$\alpha$ a un seul point fixe et est d'ordre $2$, c'est un produit de transpositions disjointes.
Prenons par exemple $\alpha=(ab)(cd)$.
$\beta$ possède $2$ points fixes distincts de $e$.
Soit $\beta$ a au moins un élément de chaque transposition d'$\alpha$, soit par exemple : $\beta=(bce)=(bc)(ce)$,
$\alpha\beta=(ab)(cd)(bc)(ce)=(bdeca)$ d'ordre $5$.
Soit $\beta$ n'a aucun élément d'une des deux transpositions d'$\alpha$, soit par exemple : $\beta=(cde)=(cd)(de)$,
$\alpha\beta=(ab)(cd)(cd)(de)=(ab)(de)$ d'ordre $2$.
Là, je sèche...
malgré l'aide que j'ai obtenu, je n'arrive pas à finir cet exercice (question 2 et 3). Merci à ceux qui auront le temps de me corriger :
On considère les éléments $\alpha, \beta\in S_5$ tels que :
$\alpha$ est d'ordre $2$ et possède un unique point fixe $k\in\{1,\cdots,5\}$,
$\beta$ possède exactement deux points fixes distincts de $k$.
Question 1 : montrez que $\alpha$ et $\beta$ sont des éléments de $A_5$
$\alpha$ est un produit de transpositions disjointes et $\beta$ un $3$-cycle qui est forcément le produit d'un nombre pair de permutations, c'est à dire un élément du groupe alterné $A_5$
Donc $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à $A_5$.
Question 2 : montrez que le produit $\alpha \beta$ est un élément d'ordre $2$ ou $5$.
$\alpha$ a un seul point fixe et est d'ordre $2$, c'est un produit de transpositions disjointes.
Prenons par exemple $\alpha=(ab)(cd)$.
$\beta$ possède $2$ points fixes distincts de $e$.
Soit $\beta$ a au moins un élément de chaque transposition d'$\alpha$, soit par exemple : $\beta=(bce)=(bc)(ce)$,
$\alpha\beta=(ab)(cd)(bc)(ce)=(bdeca)$ d'ordre $5$.
Soit $\beta$ n'a aucun élément d'une des deux transpositions d'$\alpha$, soit par exemple : $\beta=(cde)=(cd)(de)$,
$\alpha\beta=(ab)(cd)(cd)(de)=(ab)(de)$ d'ordre $2$.
Question 3 : on suppose que $\alpha \beta$ est d'ordre $5$. Montrez que $\{\alpha, \beta\}$ engendre $A_5$
Là, je sèche...
Réponses
-
Bonsoir Papythagore
Si tu sais que $\frak A_5$ est engendré par deux sous-groupes d'ordre 5 distincts ?
Alors tu as déjà un élément $\alpha\beta$ d'ordre 5, donc qui engendre un premier sous-groupe d'ordre 5.
Tu prends un conjugué, par exemple $\alpha.\alpha\beta.\alpha=\beta\alpha$ (sachant que $\alpha^{-1}=\alpha$) qui est donc d'ordre 5,
et tu vérifies qu'il n'est pas dans le sous-groupe engendré par $ \alpha\beta$ (i.e. qu'il est différent de $ \alpha\beta,(\alpha\beta)^2,(\alpha\beta)^3,(\alpha\beta)^4$), donc qu'il engendre un autre sous-groupe d'ordre 5,
qui avec $\langle \alpha\beta\rangle$ va engendrer $\frak A_5$.
Alain
PS. Fais attention à ton calcul : $ \alpha\beta=(ab)(cd)(bc)(ce)=(bdcea)\neq (bd\color{red}ec\color{black}a)$ -
Sinon, on peut dire que le groupe engendré par $\alpha$ et $\beta$ contient des éléments d'ordre 2, 3, 5 donc est d'ordre multiple de 30, donc est d'ordre 30 ou 60. Or, $A_5$ ne possède pas de sous-groupe d'ordre 30, sinon ce sous-groupe serait distingué et $A_5$ ne serait pas simple.
-
JLT
Si l'ordre est $30$, ce sous-groupe est d'indice $2$ donc distingué ?
Pas mal cette démonstration. Merci JLT.
A AD :AD a écrit:Si tu sais que $ \frak A_5$ est engendré par deux sous-groupes d'ordre 5 distincts ?
Merci AD -
Bonsoir Papythagore
Bon avec la concision et la rapidité de JLT, ma démonstration fait l'effet d'un éléphant dans un magasin de porcelaine
Comme tu me poses la question, je vais te montrer que $\frak A_5$ est engendré par deux sous-groupes d'ordre 5 distincts, même si l'éléphant continue de se débattre (:D.D'abord un sous-groupe d'ordre 5, appelons le $H$, est un 5-Sylow de $\frak A_5$. Le nombre de ces 5-Sylow est congru à $1\pmod 5$ et divise $\frac{60}5=12$, il ne peut être 1 (il serait distingué) c'est donc 6.
La classe de conjugaison de $H$ contient donc 6 éléments. Donc le normalisateur de $H$ est d'ordre $\frac{60}6=10$ (en faisant agir $\frak A_5$ par conjugaison sur l'orbite de $H$, on a la relation $|\frak A_5| = |Stab(H)|\times|Orbite(H)|$ et $Stab(H)$ est le normalisateur de $H$ dans $ \frak A_5$).
Le normalisateur est d'ordre 10. Mais un groupe d'ordre 10 admet toujours un unique 5-Sylow ($n_5$ divise $\frac{10}5=2$ et est congru $1\pmod 5$, donc $n_5=1$).
Donc ce normalisateur contient un unique sous-groupe d'ordre 5, qui va être notre $H$ et il ne peut pas contenir d'autre sous-groupes d'ordre 5. C'est-à-dire qu'il y a 6 normalisateurs d'ordre 10, autant que de 5-Sylow.
Et chacun de ces normalisateurs ne peut pas être contenu dans un sous-groupe d'ordre 30 (qui serait distingué dans $\frak A_5$), ni dans un sous-groupe d'ordre 20.
En effet, un groupe d'ordre 20 a toujours un 5-Sylow distingué ($n_5$ divise $\frac{20}5=4$ et est congru $1\pmod 5$, donc $n_5=1$) donc ce groupe d'ordre 20 serait normalisateur de $H$ dans $\frak A_5$ (or on vient de voir que le normalisateur de $H$ dans $\frak A_5$ est d'ordre 10).
Finalement dans $\frak A_5$, deux 5-Sylow distincts sont chacun séparément, contenus dans deux diédraux distincts d'ordre 10, qui sont directement contenus dans $\frak A_5$.
Le plus petit sous-groupe commun à ces deux 5-Sylow distincts est $\frak A_5$ lui-même. Ces deux 5-Sylow distincts engendrent donc $\frak A_5$ en entier.
Alain -
Merci pour ce cours. Je n'ai pas encore tout compris mais je m'accroche.AD a écrit:D'abord un sous-groupe d'ordre 5, appelons le $ H$, est un 5-Sylow de $ \frak A_5$AD a écrit:Le nombre de ces 5-Sylow est congru à $ 1\pmod 5$ et divise $ \frac{60}5=12$, il ne peut être 1 (il serait distingué)
Est ce que tout groupe d'ordre $60$ est simple ?AD a écrit:La classe de conjugaison de $ H$AD a écrit:Donc le normalisateur de $ H$ est d'ordre $ \frac{60}6=10$ (en faisant agir $ \frak A_5$ par conjugaison sur l'orbite de $ H$, on a la relation $ \vert\frak A_5\vert = \vert Stab(H)\vert\times\vert Orbite(H)\vert$ et $ Stab(H)$ est le normalisateur de $ H$ dans $ \frak A_5$).
Le stabilisateur est le sous-groupe d'éléments laissant ceux de $H$ invariant par translation ?
Comment en conclus tu que du coup, le normalisateur est le stabilisateur et qu'on a la relation $ \vert\frak A_5\vert = \vert Stab(H)\vert\times\vert Orbite(H)\vert$AD a écrit:Finalement dans $ \frak A_5$, deux 5-Sylow distincts sont chacun séparément, contenus dans deux diédraux distincts d'ordre 10, qui sont directement contenus dans $ \frak A_5$.
Qu'est ce qu'un diédral ? -
paspythagore a écrit:est-ce que tout groupe d'ordre $60$ est simple?
En réfléchissant 5 minutes, ne peux-tu répondre toi-même à cette question? Quel groupe d'ordre 60 connais-tu ? (pense à l'exemple le plus évident que tu connaisses) . Penses-tu qu'il est simple?paspythagore a écrit:Le normalisateur de $ H$, c'est l'ensemble des éléments qui commutent avec $ H$ ?
ça dépend ce que tu entends par ça. C'est l'ensemble $N_G(H)$ des $g\in G$ tel que $gHg^{-1}=H$.paspythagore a écrit:
Le stabilisateur est le sous-groupe d'éléments laissant ceux de $ H$ invariant par translation ?
Non, c'est le sous-groupe des éléments dont l'action stabilise $H$. Ici l'action est l'action par conjugaison.
Donc $Stab_G(H)=N_G(H)$ ($G=A_5$).paspythagore a écrit:et comment en déduis-tu que
$ \vert\frak A_5\vert = \vert Stab(H)\vert\times\vert Orbite(H)\vert$
là, il faut apprendre ton cours.paspythagore a écrit:Je ne comprends pas ce que cela veut dire.
Qu'est ce qu'un diédral ?
Un groupe diédral. Tu as dû forcément voir ça comme exemple de groupes. Par exemple, on a pu te les présenter comme groupe des isométries du plan laissant invariant un polygone régulier. -
Papythagore a écrit:A quoi ressemble un sous groupe qui n'est pas un $p$-Sylow ?
L'intérêt d'un $p$-Sylow, c'est que grâce aux théorèmes de Sylow, on peut dire des choses dessus, qui s'avèrent suffisamment intéressantes pour permettre de répondre à des questions.Et un groupe alterné est simple.
Est ce que tout groupe d'ordre $60$ est simple ?
Oui $\frak A_n$ est simple pour tout $n\geq 5$.
Comme te dit Greg, Le cyclique d'ordre 60 n'est pas simple.> La classe de conjugaison de $ H$
Je connais la définition de la conjugaison mais j'ai du mal avec cette notion.
C'est du vocabulaire : c'est l'orbite du sous-groupe $H$ sous l'action de conjugaison par $\frak A_5$
L'ensemble des sous-groupes de $G$ admet une relation d'équivalence : $H_1\sim H_2$ si $H_1$ et $H_2$ sont conjugués (càd $\exists g\in G,\ H_2=gH_1g^{-1}$).
Pour cette relation d'équivalence, les classes sont les classes de conjugaison.> Finalement dans $ \frak A_5$, deux 5-Sylow distincts sont chacun séparément, contenus dans
> deux diédraux distincts d'ordre 10, qui sont directement contenus dans $ \frak A_5$.
Je ne comprends pas ce que cela veut dire.
On veux montrer que deux sous-groupes engendrent $G$, or le sous-groupe engendré par $H_1$ et $H_2$ est, par définition, l'intersection de tous les sous-groupes contenant à la fois $H_1$ et $H_2$. C'est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $H_1$ et $H_2$.
Ici je te montre que $H_1$ est contenu dans son normalisateur d'ordre 10, et $H_2$ aussi contenu dans son normalisateur d'ordre 10 qui est différent de celui de $H_1$, et ensuite qu'il n'y a pas d'autre sous-groupes entre ces normalisateurs et $\frak A_5$. S'il y en avait, ils devraient être d'ordre 20 ou 30 (ie multiples de 10 et diviseurs de 60) et dans $\frak A_5$, je te montre qu'il n'y en a pas. En d'autre termes, ces normalisateurs sont des sous-groupes maximaux de $\frak A_5$.
Donc le plus petit sous-groupe contenant à la fois $H_1$ et $H_2$ est $\frak A_5$ lui-même qui est donc engendré par $H_1$ et $H_2$.
Bon manifestement, la réponse de JLT est celle qui était attendue par l'exercice.
L'intérêt ,s'il y en a, de ma démonstration est l'exploration de la structure de $\frak A_5$ premier groupe simple non commutatif.
Alain -
GreginGre a écrit:Le normalisateur de $ H$, c'est l'ensemble des éléments qui commutent avec $ H$ ?
ça dépend ce que tu entends par ça. C'est l'ensemble $ N_G(H)$ des $ g\in G$ tel que $ gHg^{-1}=H$.GreginGre a écrit:Non, c'est le sous-groupe des éléments dont l'action stabilise $ H$. Ici l'action est l'action par conjugaison.
Donc $ Stab_G(H)=N_G(H)$ ($ G=A_5$).AD a écrit:Bon manifestement, la réponse de JLT est celle qui était attendue par l'exercice.
L'intérêt ,s'il y en a, de ma démonstration est l'exploration de la structure de $ \frak A_5$ premier groupe simple non commutatif. -
Ok pour la définition du normalisateur.
Pour l'égalité entre stabilisateur et normalisateur , il n'y a rien à comprendre, il s'agit d'écrire les définitions.
A mon avis, ce que tu as zappé dans les explications d'Alain, c'est ceci: on prend $G=A_5$ que l'on fait agir par conjugaison sur l'ensemble $X$ des $5$-Sylows de $G$.
Par définition, si $H$ est un $5$-Sylow, et si $g\in G$, on a donc $g\bullet H=gHg^{-1}$ (je note $\bullet$ l'action, histoire que tu ne confondes pas avec le produit dans $G$.
Par définition, le stabilisateur de $H\in X$, c'est donc l'ensemble des $g\in G$ tels que $g\bullet H=H$, c'est-à-dire $gHg^{-1}=H$. Autrement dit, c'est le normalisateur de $H$. -
Merci de ton aide mais je dois être bouché.GreginGre a écrit:Par définition, si $ H$ est un $ 5$-Sylow, et si $ g\in G$, on a donc $ g\bullet H=gHg^{-1}$ (je note $ \bullet$ l'action, histoire que tu ne confondes pas avec le produit dans $ G$.
-
je n'ai écrit ça nulle part, relis un peu mon message. Je t'ai décrit ce qu'était le stabilisateur de $H$ pour l'action de conjugaison, et pour te faire constater que dans ce cas, c'est aussi le normalisateur, ni plus ni moins.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.1K Toutes les catégories
- 58 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.5K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 58 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 20 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.7K Géométrie
- 83 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 337 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 801 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres