Come back...
Bonsoir à tous,
Bonne nouvelle, ma formation à Supélec est achevée, et je vais (enfin !) pouvoir refaire un peu de mathématique. Enfin, maintenant, faut que je me trouve du boulot avec ma nouvelle expertise dans un contexte perso par facile, mais bon c'est comme ça et pas le choix.
Mon stage d'application chez Airbus s'est terminé le 28 octobre dernier, et je vous écris de Suisse, où je me repose un peu (j'essaie...). Et je fais un peu de math pour me détendre et penser à autre chose.
Comme je suis un peu rouillé, j'ai besoin de votre avis sur sur les 2 questions suivantes :
1) Soit $u \in [0,1[$, pour montrer que $\int_{1-u}^{1} \dfrac{1-u-t}{t^2} dt \leq 0$, je rédige comme suit :
Puisque $1-u \leq t \leq 1$, on a $1-u-t \leq 0$, et en divisant par $t^2$ ($t \neq 0$), on aboutit à $\dfrac{1-u-t}{t^2} \leq 0$. Par intégration sur $[1-u,1]$, on a bien $\int_{1-u}^{1} \dfrac{1-u-t}{t^2} dt \leq 0$. En effet, on conserve le signe négatif de la quantité intégrée, puisque les bornes d'intégration sont dans le bon sens. Correct ?
2) Pour appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale définie par $f(b)= \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) +\int_{a}^{b} \dfrac{(b-t)^{(n+1)}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t) dt$, il est d'usage de prendre par convention $b>a$, mais peut-on tout de même l'appliquer si $b<a$ ?
Si je vous pose la question, c'est que dans un exercice corrigé, je lis "La formule de Taylor avec reste intégrale appliquée à l'ordre $1$ à la fonction $\ln$ entre $1$ et $1-u$ où $u \in[0,1[$ donne : $\forall u \in [0,1[, \ \ln(1-u)= \ln1+ \cdots$
Merci pour votre éclairage,
Bien cordialement,
Clotho
Bonne nouvelle, ma formation à Supélec est achevée, et je vais (enfin !) pouvoir refaire un peu de mathématique. Enfin, maintenant, faut que je me trouve du boulot avec ma nouvelle expertise dans un contexte perso par facile, mais bon c'est comme ça et pas le choix.
Mon stage d'application chez Airbus s'est terminé le 28 octobre dernier, et je vous écris de Suisse, où je me repose un peu (j'essaie...). Et je fais un peu de math pour me détendre et penser à autre chose.
Comme je suis un peu rouillé, j'ai besoin de votre avis sur sur les 2 questions suivantes :
1) Soit $u \in [0,1[$, pour montrer que $\int_{1-u}^{1} \dfrac{1-u-t}{t^2} dt \leq 0$, je rédige comme suit :
Puisque $1-u \leq t \leq 1$, on a $1-u-t \leq 0$, et en divisant par $t^2$ ($t \neq 0$), on aboutit à $\dfrac{1-u-t}{t^2} \leq 0$. Par intégration sur $[1-u,1]$, on a bien $\int_{1-u}^{1} \dfrac{1-u-t}{t^2} dt \leq 0$. En effet, on conserve le signe négatif de la quantité intégrée, puisque les bornes d'intégration sont dans le bon sens. Correct ?
2) Pour appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale définie par $f(b)= \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) +\int_{a}^{b} \dfrac{(b-t)^{(n+1)}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t) dt$, il est d'usage de prendre par convention $b>a$, mais peut-on tout de même l'appliquer si $b<a$ ?
Si je vous pose la question, c'est que dans un exercice corrigé, je lis "La formule de Taylor avec reste intégrale appliquée à l'ordre $1$ à la fonction $\ln$ entre $1$ et $1-u$ où $u \in[0,1[$ donne : $\forall u \in [0,1[, \ \ln(1-u)= \ln1+ \cdots$
Merci pour votre éclairage,
Bien cordialement,
Clotho
Réponses
-
Bonjour,
Pas de souci pour 1.
L'intégrale étant facile à calculer, on peut aussi voir de ce côté...
L'égalité de Taylor avec reste intégrale ne nécessite pas d'hypothèse sur l'ordre de $a$ et $b$, mais la fonction doit être suffisamment régulière.
Cordialement -
D'après ce que je sais, ça ne pose aucun problème.
-
Merci jp nl pour les réponses.
Bien cordialement
Clotho -
Bonjour Clotho,
Ta formule de Taylor avec reste intégrale est inexacte. Dans l'intégrale c'est plutôt $\dfrac {(b-t)^n} {n!}$.
Sinon elle est valide quelque soit $a,b$
Amicalement,
zephir. -
en effet, je me suis fourvoyé...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres