D'où vient cet intervalle?

FdP-unplugged

Je ne suis pas sûr de poster au bon endroit.

Je voudrais savoir d'où vient cet intervalle dit "de fluctuation au seuil de 95 pourcent" qu'on trouve dans le programme de mathématiques de seconde :
$\Big[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big]$ ?

Application du théorème central-limite ?

FdP-unplugged

Cet intervalle apparait à la page 9 de:

http://media.education.gouv.fr/file/30/52/3/programme_mathematiques_seconde_65523.pdf

Lucas

Oui, c'est bien une application du TCL. Il dit précisément que
$$
\frac{ \mathrm{Bin}(n,p) -np }{\sqrt{p(1-p)} \sqrt{n} }\to \mathcal{N}(0,1),
$$
où $ \mathrm{Bin}(n,p)$ est une Binomiale de paramètres $(n,p)$. Donc un intervalle (qui serait à 95 pourcents quand $n$ est grand) serait
$$
\left[ p\pm z_{0,975} \frac{ \sqrt{p(1-p)} }{ \sqrt{n} } \right],
$$
et $z_{0,975} \sqrt{p(1-p)}$ est plus petit que $1$.

Fin de partie

Qu'est-ce $z_{0,975}$?

Lucas

Pardon, c'est le quantile à 97.5 pourcents de la loi normale (centrée/réduite).

Lucas

... et il vaut 1.96

FdP-unplugged

Ainsi si je comprends bien on a un échantillon de n objets et on voudrait trouver la proportion p d'objets du même type dans cet échantillon.

Si l'échantillon est obtenu par tirage aléatoire, on considère qu'on a affaire à un tirage de n boules qui sont de deux types, celui cherché avec la probabilité p et d'un autre type.

Ai-je bien saisi?

gerard0

Non, FDP,

ce que tu viens de définir, c'est un intervalle de confiance. Or dans ta formule, tu as déjà $p$. Il s'agit d'un intervalle de fluctuation, c'est à dire que la probabilité que la proportion dans l'échantillon soit dans l'intervalle est supérieure ou égale à $95\%$.
En cherchant dans le forum (soit en stat soit en proba) tu devrais trouver un fil qui en parle largement et donne des preuves.

Cordialement.