Empilement sphérique

Bonjour,

Voici le problème que j'essaie de résoudre :
Etant donné Tn boules sphériques identiques de rayon R disposées les unes sur les autres de manière la plus compacte possible, de sorte à former un empilement tétraédrique, quelle est la hauteur formée par n étages ?

Voici comment j'ai commencé à résoudre le problème:
Pour 3 sphères tangentes deux à deux placées dans un même plan, on place une autre sphère tangente.
On obtient un empilement vertical de deux étages
Les centres de trois sphères formant un triangle équilatéral, la hauteur d'un empilement de deux rangées est égale à :
R*(2 + racine (3) ).

A présent dans le cas général,

On obtient des nombres tétraédriques (cumul des nombre triangulaires) correspondant au nombre total de sphère d'un empilement pyramidal :
Ainsi pour n étages , le nombre de boules sphériques à empiler est : Tn = 1/6 * n * (n+1) * (n+2)

Je cherche la hauteur du tétraèdre obtenu.

J'ai l'impression qu'il y a deux cas suivant que n est pair ou impair :

Si n est pair : n = 2 p
Hauteur de n couches = p * R(2 + racine(3) )= n/2 * R(2 + racine(3) )

Si n est impair :
Hauteur de n couches = p * R(2 + racine(3) )+ 2R

La formule est-elle correcte ?

Merci

Salutation

Réponses

  • Bonjour,

    Est-ce que tu pourrais détailler la manière dont tu obtiens $R(2+\sqrt 3)$?

    Sinon, il me semble que le problème est plus simple que ça (et qu'il n'y a pas de distinction de cas à faire sur la parité de~$n$): avec $n$ étages, cela donne $n$ fois la hauteur d'un tétraèdre "élémentaire" (dont les sommets sont les centres de quatre sphères tangentes deux à deux) plus deux fois le rayon.
  • Voici comment je trouve :$R(2+\sqrt 3)$

    La hauteur d'une pile de deux étages est égale à :
    un rayon de sphère + la hauteur du triangle équilatéral des trois centres + un deuxième rayon
    Soit : R + hauteur + R

    Le triangle équilatéral a des cotés de longueur 2R
    Or dans un triangle équilatéral de coté a la hauteur a une longueur égale à a racine(3 )/ 2 . ))
    donc la hauteur d'une pile de deux étages est = R + 2$R(\sqrt 3)$ / 2 + R = $R(2+\sqrt 3)$
  • Non, justement, les centres des sphères forment des tétraèdres, dont la hauteur n'est pas la même que celle d'un triangle équilatéral formant une face. Est-ce que tu as fait un dessin pour voir ce qu'il se passe?
  • Ok, dans ce cas, j'arrive à un calcul de hauteur de base égale à :
    $H = 2R(1+\sqrt {2/3} )$, sachant que la hauteur d'un tétraèdre régulier de côté $a$ est : \ $a \sqrt {2/3} $
    D'où pour $n$ piles : \quad $Hn= n \times 2R(1+\sqrt {2/3} )$
    Est-ce correct ?
    Merci
    A+
  • Bonsoir.

    Tu es sûr que le 1 apparaît n fois ?

    Cordialement.
  • Oups, OK, merci
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