Fibonacci

Steven Neutral

Bonjour,
Soit $(f_n)$ la suite de Fibonacci. On définit par récurrence la suite $(p_n)$ en se fixant $p_0$ et en posant $p_{n+1}=1-\frac{f_{n+2}}{f_n}p_n$.
Quand $p_0 = 1/x^2$ où $x$ est le nombre d'or, la suite converge vers $1/(1+2x)=1/(1+x^2)$, est-ce bien vrai ?
De plus dans ce cas on a $0 < p_n < 1$ pour tout $n$, cela est-il possible pour un autre choix de $p_0$ ?

Désolé si tout ça est trivial mais avec mon nouveau boulot j'ai vraiment peu de temps pour réfléchir à des maths.

FdP-unplugged

On a: $p_{n+1}=1-\frac{f_{n+1}}{f_n}\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}p_n$

Si $p_n$ a une limite y alors cette limite vérifie $y=1-x^2y$ sauf erreur.

Steven Neutral

Ouais ça j'y arrive malgrè mon manque de temps Ca donne bien $1/(1+x^2)$.
C'est pour le reste que je sais pas.

JLT

Ce n'est pas trivial. On calcule d'abord $p_n$ en fonction de $p_0$ :
$$p_n=(-1)^nf_{n+1}f_n\Big(p_0+\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{f_kf_{k+1}}\Big)$$
Comme $(-1)^k=f_kf_{k+2}-f_{k+1}^2$, la somme se transforme en une somme télescopique, ce qui donne
$$p_n=(-1)^nf_{n+1}f_n\Big(p_0+\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}-2\Big)$$
On en déduit que si $p_0\ne 2-x$ ($=1/x^2$) alors $|p_n|$ tend vers l'infini avec le signe de $p_n$ qui alterne.

Si $p_0=2-x$ alors $p_n=(-1)^nf_n(f_{n+2}-xf_{n+1})$.

Comme on sait exprimer $f_n$ en fonction de $n$, on montre facilement que $p_n$ a une limite.

Steven Neutral

Waouw merci !
Je sais pas comment j'ai fait, j'ai trouvé le $p_0$ par avec un prog en essayant des valeurs par hasard :

fib <- function(n){
	if(n <=1) return(1)
	if(n>1) return( fib(n-2)+fib(n-1) )
}

n <- 25
( Fib <- sapply(0:n, fib) )

gold <- (1+sqrt(5))/2

p <- 1/gold^2
i <- 1
while(i < n){
	p <- c(p, 1-p[length(p)]*Fib[i+2]/Fib[i])
	i <- i+1
}
p

La convergence est méga-rapide :

 [1] 0.3819660 0.2360680 0.2917961 0.2705098 0.2786405 0.2755348 0.2767211
 [8] 0.2762680 0.2764410 0.2763749 0.2764002 0.2763905 0.2763942 0.2763928
[15] 0.2763934 0.2763931 0.2763932 0.2763932 0.2763932 0.2763932 0.2763932
[22] 0.2763932 0.2763932 0.2763932 0.2763932

bisam

Comme tu dis, JLT : ce n'est pas trivial... mais retravaillé, cela fait un bon exo de Sup (voire pour de bons élèves de Terminale).

Steven Neutral

Notant $m_n=p_nf_n+(1-p_n)f_{n+1}$ je m'intéresse à $\lim \frac{m_{n+1}}{m_n}$ et d'après le calcul numérique cette limite est vraisemblablement $x$.

Fin de partie

Si on connait la limite de la suite $(p_n)$ alors on connait aussi celle de la suite $\Big(\dfrac{m_n}{f_n}\Big)$

PS:
Autrement dit, dans la fraction $\dfrac{m_{n+1}}{m_{n}}$ tu factorises au numérateur $f_{n+1}$ et au dénominateur $f_n$.

Steven Neutral

Oui pardon, j'ai vu que c'est facile quand on connait $\lim p_n$, j'utilise ce fil pour noter mes progrès sur la question sous-jacente car c'est le seul endroit où j'ai pris des notes.

Fin de partie

Si $(p_n)$ est convergente et qu'on sait uniquement que cette limite n'est pas $\dfrac{-x}{1-x}$ ($x$ nombre d'or) la limite du quotient est $x$.

PS:

$\dfrac{-x}{1-x}$ se simplifie en $1+x$ sauf erreur.

Steven Neutral

Bonjour,

Je cherche un exemple autre que Fibonacci d'une suite $(q_n)$ définie à partir d'une suite donnée d'entiers $a_n \geq 1$ par $q_0=1$, $q_1=a_{1}$ et $q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}$, et telle que $\big[q_{n+1}/q_{n}\bigr] = 1$ pour tout $n$. Idéalement il faudrait aussi qu'on ait une expression de $q_n$ et la limite de $q_{n+1}/q_{n}$.

[Restons dans le fil que tu as initié pour les questions autour du même thème. ]

h

C'est quoi $[q_{n+1}/q_n]$ ? Si c'est la partie entière, ta relation impose $q_n=1$ et donc Fibonnaci.

Steven Neutral

Oui c'est la partie entière. Mince alors.
Je vais donc passer à $\big[q_{n+1}/q_{n}\bigr] = 2$. Pour ceux qui connaissent les fractions continues, si j'en crois ce
ce tableau ça a l'air de marcher avec les dénominateurs pour $\sqrt{2}$ (ça marche pour les premiers termes).

h

Ça ne marche pas de prendre $a_n=2$ pour tout $n$ ?

Steven Neutral

Oui c'est $a_1=1$ et $a_n=2$ le développement de $\sqrt{2}$ et ça donne http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Pell. Très "sympa" :-D

Steven Neutral

Fusion légitime, GreginGre.