f(x+y)=f(x)+f(y)

pat4

bonjour a tous,
je suis en train de rediger un petit truc sur l'equation fonctionnelle
f(x+y)=f(x)+f(y), j'ai un trou sur les solutions discontinues et suis sans documents, quelqu'un pourrait il me rappeler comment on prouve la non continuite de la solution de l'equation contruite a partir de la base de hamel ? merci d'avance et bonne rentree pour certains......

Martial0

Le plus simple est de commencer par démontrer que, si f est continue, alors forcément f vérifie f(x)=ax, avec a=f(1), ce qui est à peu près trivial compte tenu de la densité de $\Q$ dans $\R$.
Ensuite, tu montres que le truc construit à partir d'une base de Hamel ne vérifie pas f(x)=ax, et du coup il est pas continu.

Martial0

Soyons un peu plus précis : d'après la première remarque il y a autant d'applications continues vérifiant(1) f(x+y)=f(x)+f(y) que de nombres réels.
Maintenant, une application quelconque vérifiant (1) n'est rien d'autre qu'une application linéaire de $\R$ dans $\R$, mais $\R$ étant considéré comme espace vectoriel sur $\Q$.
Du coup, trouver une telle application revient à choisir les images des vecteurs d'une base B, il y a donc autant de fonctions vérifiant (1) que de fonctions de B dans $\R$, c'est-à-dire que de fonctions de $\R$ dans $\R$, puisque Card(B)=Card($\R$).
Et tout le monde sait bien que le cardinal de l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ est strictement plus gros que Card($\R$), donc il y en a forcément une térachiée qui ne sont pas continues.
Voili voilou.

Eric1

Autre façon de voir, tu montres que si f est bornée sur un segment alors f(x)=ax. Voir
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=53746&t=53674#reply_53746

Ce même lien te donne une référence biblio où est donnée la construction d'une fonction vérifant f(x+y)=f(x)+f(y) à partir d'une base de Hamel.

Martial0

Pour Eric :
"Ce même lien te donne une référence biblio où est donnée la construction d'une fonction vérifant f(x+y)=f(x)+f(y) à partir d'une base de Hamel."

Ben c'est trivial, non ?

Eric1

Y a juste une expression "explicite" de la chose.

lio0

si f est mesurable alors f(x)=a*x

pat4

merci a tous, je devrai arriver sans peine a finir la redaction de mon cours maintenant, saviez vous pour terminer que "f sous-additive & localement integrable implique f lineaire" de mmme "f sous-additive et bornee sur C tel que C-C admette l'origine comme point interieur (ex : C cantor) implique f lineaire"........ ect ect
merci & bonne semaine, patrice