processus de Poisson

Steven Neutral

Bonjour,
Diverses questions sur le processus de Poisson :

1) Soient $N$ et $N'$ deux processus de Poisson indépendants.\'Etant donné $n \in \mathbb{N}$ on note $T$ le premier instant $t$ pour lequel $N_t+N'_t=n$. Peut-on justifier autrement qu'en la calculant directement que la loi de $N_T$ est la même que la loi conditionnelle de $N_t$ sachant $N_t+N'_t=n$, qu'on connaît bien (loi binomiale) ?

2) Si $N$ et $N'$ sont a priori des processus de comptage quelconque mais avec $N_T$ binomiale, peut-on en déduire que $N$ et $N'$ sont de Poisson ?

3) Avez-vous un exemple simple (au moins simple à simuler) d'un processus de comptage $N$ qui n'est pas de Poisson mais tel que $N_t \sim {\cal P}(\lambda t)$ pour tout $t$ ?

alekk

Pour (3), voici un exemple assez artificiel. Pour construire un tel processus de comptage $(\omega, t) \to X_t(\omega)$ on simule d'abord une variable aleatoire $U(\omega)$ uniforme sur $(0,1)$ et ensuite on definit $X_t(\omega)=k$ ou $k \in \mathbb{N}$ est l'unique entier satisfaisant
$$\sum_{0}^{k-1} \mathbb{P}[\mathcal{P}(\lambda t)=j] \leq U(\omega) < \sum_{0}^k \mathbb{P}[\mathcal{P}(\lambda t)=j].$$

Steven Neutral

Merci alekk. Il me semble que tu avais déjà donné cet exemple sur un fil et peut-être même que Gérard Letac avait donné un autre exemple ; si tu as un indice pour retrouver ce fil je suis preneur (mais peut-être que je confonds avec autre chose !)

alekk

je dois t'avouer que je ne me rappelle plus du tout. Mais il y avait eu la question de savoir s'il avait un processus continue, non brownien, mais verifiant $X_t = \mathcal{N}(0,t)$. La meme construction, a savoir $X_t = \sqrt{t} \, U$ avec $U = \mathcal{N}(0,1)$, marche parfaitement.

Steven Neutral

Ok c'était peut-être ça.

Une autre question à propos du processus de Poisson, mais de modélisation statistique (je souligne pour attirer les stateux), pas très théorique a priori :
On a un groupe de $n$ individus sujets à une maladie qu'on observe au cours du temps, jusqu'à un certain instant $C$. On dit qu'un individu est à risque s'il n'est pas encore malade, on définit alors le temps à risque de l'individu $i$ par $t_i=\text{l 'instant où il tombe malade}$ s'il tombe malade avant $C$ et $t_i=C$ sinon. Bref $t_i$ est l'instant où l'individu tombe malade tronqué par $C$.
Le temps à risque du groupe est alors $T= \sum t_i$. Gerard0 a le droit de me corriger : ce sont les "individus-temps à risque" plutôt, on dit qu'il y a $T$ individus-temps à risque dans le groupe.
En essai clinique il est courant de modéliser le nombre de malades $x$ à l'issue de la période d'observation par une v.a.\ de Poisson ${\cal P}(\theta T)$, où $\theta$ représente le taux d'incidence de la maladie (gerard0 : $\theta$ s'exprime en nombre de cas par individus-temps à risque B-)- )
Je m'interroge sur une justification de ce modèle. Il semble qu'on le justifie en disant que $x=N(T)$ où $N$ est un processus de Poisson d'intensité $\theta$.
Je ne vois pas bien comment interpréter ce processus de Poisson $N(t)$ avec le temps $t$ qui parcourt la période de temps à risque de l'étude. En admettant que les instants de maladie $X_i$ sont i.i.d.\,, alors si on met bout-à-bout les temps à risque de chaque individu, on obtient un processus de comptage avec les temps d'interarrivées qui ne sont pas les $X_i$ mais les $X_i \wedge C$, qui ne peuvent pas être de loi exponentielle.

raphayel

Salut

concernant la question (1):

$N_t$ et $N_t'$ sont deux variables de Poisson indépendantes de paramètre $t$, de là tu en déduis le résultat, mais peut-être est-ce déjà trop calculatoire.

Sinon une autre manière de voir les choses est de considérer l'ensemble des sauts de $N_t+N_t'$. C'est une mesure de Poisson de paramètre $2t$, et si tu affectes indépendement la couleur rouge ou bleue à chaque point (avec proba $1/2$, tu obtiens deux mesures de Poisson indépendantes de paramètre $t$. Tu retrouve comme ça le fait que, si on conditionne par le fait que le nombre de points est $n$, alors le nombre de points bleus (càd les sauts de $N_t'$ par exemple) est une binomiale.

Concernant la question (2): Tu supposes que pour tout $n$ le temps $N_T$ est une binomiale?

Steven Neutral

Salut raphayel,
Je n'ai pas compris ta réponse à la question 1), et j'ai même l'impression que tu ne réponds pas à la question, car je ne vois rien qui concerne la loi de $N_T$ dans ton post (il me semble que tu cherches à justifier que la loi conditionnelle est binomiale mais ce n'est pas là mon problème).

Pour la 2) oui on suppose $N_T$ binomiale pour tout $n$.

raphayel

Excuse-moi il doit y avoir un bug dans mon cerveau je ne comprends pas qqch: Comme $N_t+N_t'$ ne fait que des sauts positifs, si $N_t+N_t'=n$, alors $t=T$ non? (et donc $N_t=N_T$...)

Steven Neutral

Je crois que j'ai compris le problème de modélisation. C'est une approximation valable quand $\theta$ est petit et $n$ est grand, en fait ça se ramène à l'approximation d'une loi de Poisson par la loi binomiale, il faut regarder la démonstration pour des hypothèses plus précises.
On devrait avoir ceci :
{\it Soient $X_i$ des v.a.\ i.i.d. $\sim {\cal E}(\lambda)$ (de moyenne $1/\lambda$). Soient $C >0$ tel que $\lambda C$ est petit. Soit $N=\sum_{i=1}^n {\boldsymbol 1}_{X_i < C}$ avec $n$ grand. Alors la loi de $N$ est proche de ${\cal P}(\theta T)$ où $T=\sum_{i=1}^nX_i \wedge C$. }
Preuve : Remarquons d'abord que la loi ${\cal P}(\theta T)$ n'a pas de sens parce que $T$ est aléatoire, mais on a $T \approx n C$. Comme $N \sim \text{Bin}(n, p)$ avec $p = \mathbb{P}(X_i<C) = (1-e^{-\lambda C}) \approx \lambda C$. Le résultat découle de l'approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale.

Ce modèle de Poisson vient donc d'une approximation du modèle de la loi exponentielle censurée.

Steven Neutral

raphayel a écrit:

Excuse-moi il doit y avoir un bug dans mon cerveau je ne comprends pas qqch: Comme $N_t+N_t'$ ne fait que des sauts positifs, si $N_t+N_t'=n$, alors $t=T$ non? (et donc $N_t=N_T$...)

Non, $T$ est le plus petit de ces $t$, il est aléatoire.

raphayel

Oui mais comment $M_t=N_t+N_t'$ peut passer plusieurs fois par $n$ (en ne faisant que des sauts positifs)?

Il est en effet possible que $t>T$ car $M_t$ reste constant jusqu'au prochain saut (de $N$ ou $N'$), mais ça n'empêche pas $N_t=N_T$.

Steven Neutral

Ok je vois ce que tu veux dire. Mais cela ne justifie pas que la loi "absolue" de $N_T$ est égale à la loi conditionnelle de $N_t$ sachant $N_t+N'_t=n$, si ?

raphayel

Et bien à partir du moment où deux variables aléatoires sont égales, elles ont la même loi...

Steven Neutral

Oui mais ce n'est pas la loi sous la même proba : il faut montrer que $P(N_T=k)=P(N_t=k | N_t+N'_t=n)$ pour tout $t>0$, donc comment tu le rédiges proprement ?
Les v.a.\ sont égales sur l'événement $\{N_t+N'_t=n\}$, c'est ça que tu dis. Pour la suite je vais prendre une douche car je suis en train de me liquéfier. à+

raphayel

Dit comme ça ok. $P(N_t=k|N_t+N_t'=n)=P(N_t=k|t=T)=P(N_T=k|T=t)$ et cette dernière quantité ne dépend pas de $t$ car c'est la proba que $N_t$ soit responsable de $k$ sauts parmi les $n$ (et la tu peux reprendre les billes bleues et rouges).


En fait je ne sais pas vraiment ce que tu veux. La preuve formelle la plus rapide est probablement le calcul, la preuve la plus explicite est probablement celle avec les billes bleues et rouges...

Steven Neutral

En fait je ne sais pas vraiment ce que tu veux.

Je veux ça : $\boxed{P(N_T=k)=P(N_t=k | N_t+N'_t=n)}$, et je n'ai pas de problème pour déterminer $P(N_t=k | N_t+N'_t=n)$.
Ton $P(N_t=k|T=t)$ n'est pas hyper-clair car la loi de $T$ est continue. C'est très étrange : pour justifier un truc du type $P(A | T=t) =f(t)$ il faut montrer que $P(A|T) =f(T)$ mais ici c'est étrange car l'événement $A$ dépend de $t$. Alors quel est le sens de $P(N_t=k|T=t) = P(N_t=k | N_t+N'_t=n)}$ ?

raphayel

Il faut remplacer $T=t$ par "T est le plus grand temps de saut antérieur à t".

Tout ça pour dire que tu peux remplacer ton problème continu par un problème discret où à chaque temps, soit $N_t$ saute, soit $N_t'$ saute (avec proba $1/2$); je pense que tu obtiens le même problème à la fin (indépendant de $t$).

Steven Neutral

Hello. Je regarderai ça plus tard, merci.Mais tu dis donc que l'égalité encadrée est valable pour tout processus de comptage ?

raphayel

Je ne sais pas ce que tu appelles "processus de comptage" mais en tout cas pour Poisson oui je pense.

Steven Neutral

Re,
En fait de mon point de vue ton truc avec les points rouges et les points bleus donne directement la loi de $N_T$, car $N_T$ n'est autre que le nombre de points rouges dans les $n$ premiers points. Mais je ne vois pas comment obtenir $P(N_t=k | N_t+N'_t=n)$ avec les points bleus et les points rouges.
En résumé :
- pour calculer $P(N_t=k | N_t+N'_t=n)$ je fais un calcul facile concernant 2 v.a.\ de Poisson indépendantes
- pour calculer $P(N_T=k)$ j'utilise les points bleus et les points rouges.
Je n'ai pas encore eu trop le temps d'essayer mais je n'ai pas encore vu comment formaliser ton $P(N_t=k|N_t+N_t'=n)=P(N_t=k|T=t)=P(N_T=k|T=t)=P(N_T=k)$.
Mais bon ça me convient ainsi