obtention inégalité...

Bonsoir,

C'est concernant deux question sur l'inégalité archi-classique (et bien utile) valable pour tout $x\in]-1,+\infty[$ :
$$\ln(1+x) \leq x$$

1°) Si on utilise le théorème des accroissements finis (ce n'est pas la méhode la plus élégante et la plus rapide), on a pas d'autres choix que de distinguer 2 cas pour conclure : sur $[0,x]$ si $x>0$ et sur $[x,0]$ si $x<0$. Par contre, si on utilise la concavité de la fonction $ f: x \to \ln(1+x)$, on obtient directement l'inégalité recherchée.

Et là, en utilisant cette seconde méthode, je me demandais (à tort?) la justification de la "disparition" de ces 2 cas ( $x$ positif et négatif).

2°) Ensuite, une fois cette inégalité obtenue, je peux bien décider de poser $x= -\dfrac{t}{n}$ pour obtenir : $\ln(1- \dfrac{t}{n}) \leq -\dfrac{t}{n}$?

Merci pour votre réponse,
Cordialement,
Clotho

Réponses

  • 1) Ça doit être contenu dans le "directement".
    2) Oui à condition que $-\frac tn\geq -1$ i.e. $t\leq n$.
  • Pour le 1) il n'y a pas à faire une discussion de 2 cas si on utilise la concavité car l'inégalité dit simplement que le graphe de la fonction se situe en-dessous de la tangente en $x=0$.

    2) : oui (si le membre de gauche a un sens)
  • La méthode la plus "élémentaire" est sans doute de faire l'étude de la fonction $f(x)=\ln(1+x)-x$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • bonjour,

    Merci à vous tous pour vos réponses.

    Cordialement,
    Clotho
  • JLT: on dit que x->ln(1+x) est concave donc sa courbe est au dessous de ses tangentes, en particulier sa tangente en 0?
  • est ce qu'on peut dire que si

    f(x0) < g(x0)

    f'(x) < g'(x) pour tout x > x0

    alors pour tout x > x0, on a f(x) < g(x) ?
  • Mamane,

    prouve-le (niveau début d'université).

    Cordialement.

    NB : Il vaut mieux avoir la condition $f'(x) \le g'(x)$ pour tout $x \ge x_0$. pour éviter le cas d'une discontinuité en $x_0$.
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