Approximation espérance conditionnelle

Bonjour,

J'ai depuis quelques temps une question que je n'arrive pas à résoudre, je me permets donc de faire appel à la clairvoyance des intervenants (la mienne est partie depuis longtemps).
Voilà le contexte : soit $Y(t)$, $t\in [0,1]$ un processus Gaussien stationnaire de moyenne nulle et de fonction de covariance connue. La quantité qui m'intéresse est l'espérance conditionnelle $f(u)=\mathbb{E}(Y(u) | \forall t\in [0,1], Y(t) \in [a,b])$ pour $u\in [0,1]$. Je n'ai pas d'expression analytique pour $f(u)$. Je suis capable de construire une approximation $h(u)$ de l'espérance conditionnelle $g(u)=\mathbb{E}(Y(u) | Y(t_1),\ldots,Y(t_n) \in [a,b])$ pour une suite $t_1,\ldots,t_n$ dans $[0,1]$, et je contrôle la qualité de l'approximation de $h(u)$ pour estimer $g(u)$. Mon souci maintenant, c'est de contrôler l'écart entre $f(u)$ et $g(u)$, par exemple en erreur quadratique moyenne. Quelqu'un aurait-il une piste ? D'avance merci pour toute aide.

Amicalement,

Réponses

  • Salut Kuja,

    Donc tu cherches en fait la loi de $Y_t| M_1,m_1$ où $M_1$ est le sup du processus $Y$ sur [0,1] (et $m_1$ l'infimum) .

    Donc ici tu conditionnes en ayant une connaissance du processus dans le futur via son sup, cela me fait penser dans le cas où ton processus $Y$ peut s'exprimer comme une équation différentielle stochastique, au conditionnement fonctionnel faible à la Fabrice Baudoin tu peux regarder ce papier qui est assez difficile "CONDITIONED STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS: THEORY AND APPLICATIONS" ici.

    Sinon il y a aussi le calcul d'Itô fonctionnel à la Cont, Dupire et autres auteurs par exemple ici mais là je ne suis pas sûr que tu puisses conditionner par le futur ... à voir

    Sinon j'ai l'impression que ton problème est pas si lointain que ça de ce qu'on fait dans le calcul de Malliavin où des intégrales anticipatives sont utilisées et où peut-être il y a des choses à regarder mais bon je ne rien de précis à te proposer.

    Voilà c'est pas grand chose (le processus gaussiens ne suivent pas forcément de eds) mais bon le problème est pas simple du tout

    bon courage a+

    PS: j'imagine que tu as déjà regardé toute la littérature trés riche sur les sup de processus gaussien dans ce que j'ai dans ma bibliothèque il n'y nul part aborder le problème du conditionnement par les sup et inf.

    Edit :

    J'ai modifié le conditionnement pour que celui-ci corrsponde mieux à ton problème initial
  • Hi,

    J'ai également oublié de mentionner le LNM de Mansuy et Yor intitulé "Random times and enlargements of filtrations in a Brownian setting" qui donne des éléments utiles pour obtenir l'eds d'un MB conditionné par son sup en 1 (et je pense que cela doit pouvoir s'étendre aux cas des intégrales d'Itô)

    Je pensais à un truc si ton processus gaussien $X$ démarre en 0, est-ce qu'on n'a pas forcément une symétrie dans le sens où le $\sup X$ et $- \inf X$ ont la même loi ?

    Si c'est le cas alors pour un processus démarré en 0 n'a-t-on pas $P(X(u) \in A \mid X. \in [a;b]) =P(X(u) \in A \mid X. \in [-\min(|a|,|b|) ; \min(|a|,|b|) ]) $ (avec $a<0<b$) ?

    Ceci pourrait permettre une légère réduction de ton problème initiale non ? Encore faut-il le prouver (si c'est vrai) ?
  • Salut TheBridge,

    Merci pour avoir pris le temps de jeter un œil, malgré le peu de succès de mon fil.
    Je regarde ça ce week-end, mais je t'avoue que j'espérais un truc plus simple.
    Encore merci.

    Amicalement,
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.