Limite d'une suite produit

Bonjour,
Je cherche à trouver la limite de la suite définie par :
un = (1+1/1²) x (1+1/2²)x ...x (1+1/n²)

j'ai démontré que la suite (un) est croissante et majorée, mais pour la limite je bloque .
Quel est le moyen le plus propre de la trouver ? Une Série de Fourrier ? Une série de Riemann ?


Merci pour votre aide

Salutations

Réponses

  • Avé,

    J'ai essayé de d'encadrer par des intégrales la série de terme générale $\ln \left ( 1+\dfrac{1}{k^2} \right )$, mais je n'ai obtenue qu'un encadrement de la limite qui est $\displaystyle \frac{32}{25} \exp ( \pi -2 \arctan (2)) \leq \lim_{n \to + \infty} u_n \leq \exp \left (\frac{\pi}{2} \right )}$.

    Sinon Maple me donne $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \frac{\mathrm{sh} (\pi)}{\pi}$.
  • Difficile de ne pas passer par de l'analyse solide pour avoir la réponse, par exemple par $(\sin \pi t)/(\pi t)=\prod_{k=1}^{\infty} (1-\frac{t^2}{k^2})$
    qui se justifie par séries de Fourier comme ci dessous. Apr\`es, on fait $t=i...$


    Examen de Deug 1998 \`a Toulouse:

    Soit $0<t<1,$ $t$ fixé.
    \begin{enumerate}
    \item Pour $n$ entier $\geq 0$, calculer l'intégrale $I_n=\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(tx)dx.$ (On mettra $I_n$ sous la forme la plus simple possible, en particulier pour $n=0.)$ \item On consid\`ere la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ de période $2\pi$ et telle que
    pour $-\pi\leq x \leq \pi$ on ait $f(x)=\cos (tx).$ Tracer son graphe sur l'intervalle $[-\pi,3\pi]$ dans le cas particulier $t=1/3$. Dans le cas général pour $t$, donner la série de Fourier trigonométrique de $f$, énoncer un théor\`eme de convergence des séries de Fourier et en déduire que la série de Fourier de $f$ converge au point $x$ vers $f(x).$ \item Montrer \`a l'aide du 2) que
    $$\pi\mathrm{cotg}(\pi t)=\frac{1}{t}-
    \left(\frac{2t}{1-t^2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2t}{n^2-t^2}\right).$$
    Montrer aussi que la convergence de cette série est normale par rapport \`a $t$ quand $t$ varie dans $]0,1[.$\item On prend maintenant $t\in [0,1[.$ Montrer que la série suivante$$\log(1-t^2)+\sum_{n=2}^{\infty}\log\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$$ converge normalement dans $[0,1[.$ Pourquoi sa somme $F(t)$ est elle une fonction continue sur $[0,1[$? Montrer \`a l'aide du 3) qu'il existe une constante $C$ par rapport \`a $t$ telle que $F(t)$ pour $0<t<1$ soit $C+\log \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.$ Déterminer enfin $C$ en faisant tendre $t$ vers 0.\end{enumerate}
  • Bonjour,
    Merci pour cette réponse.

    1°) Je ne vois pas trop comment on passe du résultat établi au 3°) et 4°) donnant :
    $ (\sin \pi t)/(\pi t)=\prod_{k=1}^{\infty} (1-\frac{t^2}{k^2})$ et valable pour t dans ]0;1[ avec prendre t=i.

    Quel en est la justification ?
    On travaille dans IR et après dans C ?

    Comment le justifier ?

    2°) J'ai calculé la valeur de In et trouvé : In = $2t *( {(-1)^(n+1)}* (\sin \pi t)/({n^2}-{t^2})$
    Dans la question 3°), en passant à la convergence normale, j'arrive à :
    $\displaystyle \pi\mathrm{cotg}(\pi t)=\frac{1}{t}+\newline \left(\frac{2t}{1-t^2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2t}{n^2-t^2}\right).$
    et non pas à :
    $\displaystyle \pi\mathrm{cotg}(\pi t)=\frac{1}{t}-\newline \left(\frac{2t}{1-t^2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2t}{n^2-t^2}\right).$

    D'où vient le - ?

    Merci
  • 1) Tu n'as pas tort: si on veut \^etre élémentaire il faut refaire tout le raisonnement avec la fonction $x\mapsto \cosh xt$ sur $(-\pi,\pi)$ et prolongée par périodicité.
    2) Le moins vient de $(-1)^{n+1}\cos( \pi n)$ apparemment?
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