Primitive

clothoide

Bonsoir,

Pour le calcul de $I= \int_{0}^{\pi/4} x(\tan^2(x) + \tan^4(x))dx$. Après avoir écrit que $I= \int_{0}^{\pi/4} x \tan^2(x)(1+ \tan^2(x))dx$ et en intégrant classiquement par parties, on aboutit à :

$$I=\dfrac{\pi}{12} - \dfrac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} \tan^3(x) dx$$

Quid de la quantité $\int_{0}^{\pi/4} \tan^3(x) dx$, comment feriez-vous pour la calculer?

Merci pour une suggestion,
Cordialement,
Clotho

Bruno

Bonjour Clotho.

Je vois au moins deux méthodes : te ramener à l'intégrale d'une fraction rationnelle en cosinus ou bien faire une récurrence descendante pour te ramener à une intégrale en tangente qui donne un logarithme.

Bruno

nm0

Bonjour

$\int_{0}^{\pi/4} \tan^3(x) dx = \int_{0}^{\pi/4} \tan(x)(1+\tan^2x) dx-\int_{0}^{\pi/4} \tan(x) dx = [\frac{\tan^2 x}{2} +\ln(\cos x)]_{0}^{\pi/4}=\frac{1-\ln 2}{2}$.

Cordialement

Braun

Bonjour Clotho,
Sans rentrer dans le débat ouvert sur un autre fil, franchement et entre nous, je demande à mon esclave de faire le travail~:
$\displaystyle \int(\tan^{3}(x)\,{\rm d}x = \ln(\cos(x)) + \frac{1}{2}\,\tan^{2}(x)$.
Bien sûr il ne prend pas garde aux ensembles de validité, mais cela me suggère qu'une intégration par partie judicieuse devrait donner le résultat.
Amicalement.

clothoide

Merci pour ta réponse Bruno.
Pourrais-tu juste me préciser ce que tu entends par récurrence descendante? Des IPP successives en dérivant à chaque fois la tangente?
Et effectivement, mon coeur balance plutôt pour cette option, si j'ose dire. Les fractions rationnelles, ça ne me branche pas trop...
On a bien $\int \tan x = -\ln |\cos x|$

edit : bon, je vois que d'autres réponses sont intervenues entre temps. Merci aux autres intervenants. Le pire, c'est que j'ai Mapple13, mais je m'en suis jamais servi : c'est vrai que cela peut mettre sur la piste.
@nm : je ne comprends pas la découpe en 2 intégrales. Comment fais-tu pour obtenir la seconde intégrale avec uniquement le log en intégrande?

Bruno

C'est la méthode préconisée par nm, tu exprimes $\int\tan^3(x)\textrm d x$ en fonction de $\int\tan(x)\textrm d x$ (ici tu sautes deux crans en descendant). Pour l'autre solution, tu te ramènes, en posant $u = \cos(x)$ à :$$\int\frac{(u^2 - 1)\textrm d u}{u^3^}$$au signe près, ce qui est quand même du B.A. BA ! je t'engage à regarder les deux façons de procéder.

Bruno

clothoide

@Bruno : ça y est, je crois que je retombe sur mes pattes pour la méthode de nm et ta première option.
On écrit simplement que : $\tan^3(x) = \tan (x) +\tan^3(x) -\tan (x)$ de façon à faire apparaître la dérivée de $\tan$ après la mise en facteur de la tangente. Et on retombe bien ainsi sur $\tan^3(x) = \tan (x)(1 +\tan^2(x) )-\tan (x)$.

BADO IDRISS0

Salut je t'apporte ce que je sais.
Je poserais u = tanx donc dx = du /(1+u²) puis en changeant les bornes et en intégrant par parties on obtient le résultat.
Tu pouvais poser aussi x = arctan u