Egalité à démontrer...

Bonjour,

C'est une question sur l'amorce pour démontrer par récurrence l'égalité suivante :
$$\forall x\in\R_{+}^{*}, \quad \forall n\in\N ,\quad \int_{0}^{1} (1-t)^{n} t^{x-1}dt= \dfrac{n!}{x(x+1)...(x+n)}$$
J'ai procédé de la façon suivante.
En désignant par $P(n)$ l'égalité à démontrer, lorsque $n=0$, on a d'une part pour tout $x>0$, $\dfrac{n!}{x(x+1)...(x+n)}= \dfrac{1}{x}$ ; et d'autre part pour tout $x>0$, $\int_{0}^{1} (1-t)^{0} t^{x-1}dt= [\dfrac{1}{x} t^x]_{0}^{1}= \dfrac{1}{x}$ (1). Donc, on peut conclure à l'égalité des 2 quantités.

Seulement, pour le calcul de (1), la correction à ma disposition commence par calculer la valeur de l'intégrale lorsque $x \geq 1$ pour ensuite conclure que ce résultat est identique d'après le cours lorsque $x \in ]0,1[$. Le calcul de la primitive étant indépendant de la position de $x$ par rapport à $1$, j'avoue ne pas comprendre cette étape dans leur rédaction.

Il faut bien se servir du résultat classique valable pour tout $x>0$, $0^x=0$ (pour $t=0$), mais ensuite je ne vois pas trop la justification de cette étape.

Merci pour votre explication,
Cordialement,
Clotho

Réponses

  • La démonstration est similaire, que x soit plus petit ou plus grand que 1. Le seul point auquel il faut faire attention lorsque $x\in ]0,1[$ est que c'est une intégrale impropre.
  • @JLT : intégrale impropre sur $]0,1[$ ok, mais en $0$ uniquement. Car sauf erreur de ma part, on a $t^{x-1}= e^{(x-1) \ln t} \rightarrow +\infty$ ($x-1<0$ et $\ln t \to -\infty$ pour $t$ tendant vers $0$) : ce qui indique bien une "indétermination" en cette borne. Cela conduit donc au calcul de $\int_{\epsilon}^{1} t^{x-1}dt$ pour faire tendre ensuite $\epsilon$ vers $0$.
    Je te demande simplement une confirmation?
    Merci
  • Oui c'est ça.
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