Centralisateurs dans S5

sofsof

Bonjour,

En faisant opérer S5 l'ensemble X des 6 5-Sylow de S5 on obtient une application P : S5-->S6 qui est injective (je ne sais pas pourquoi)

Comment démontrer que P(S5) n'est pas conjugué avec les centralisateurs de i (élément de S5) dans S6 ?

[Ludwig Sylow (1832-1918) prend toujours une majuscule et pas de 's' au pluriel.
"5-Sylow" n'est qu'une abréviation de "5-sous-groupes de Sylow", qui fait référence au mathématicien cité. AD]

JLT

Comme $S_5$ agit transitivement sur les 5-Sylow, l'image de $P$ contient au moins 6 éléments, donc le noyau de $P$ est d'indice au plus 6. Or, les seuls sous-groupes distingués de $S_5$ sont $\{Id\}$, $A_5$ et $S_5$ donc le noyau de $P$ est $\{Id\}$., par conséquent $P$ est injective.

Je ne comprends pas l'énoncé de la deuxième question.

sofsof

Merci pour cette réponse (et à l'administrateur pour la correction)

Je voudrais utiliser un théorème plus général qui nous dit que si n est différent de 4 alors les automorphisme de Sn sont intérieurs si et seulement si les sous-groupes d'indice n de Sn sont conjugués.
Du coup, pour montrer que les automorphismes de Sn ne sont pas intérieurs il suffit que je montre que P(S5) est d'indice 5 et n'est pas conjugué avec les Centralisateurs de i dans S5.

JLT

C'est toujours incompréhensible. Qu'est-ce que i ? Un élément de $S_5$ ? Comment l'identifie-t-on à un élément de $S_6$ ? Dans quel cas son centralisateur a-t-il le même indice que $P(S_5)$ ?