Intégrales curvilignes
dans Analyse
Bonjour
Je n'ai pas su résoudre l'intégrale suivante par Green-Riemann : $\displaystyle\iint\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\displaystyle\int_\gamma P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
Soit $\Gamma$ la courbe fermée dans le sens direct, constituée des deux portions de courbe comprises entre les points d'intersection de la droite $y=x$ et $y=x^2 $.
Calculer $\displaystyle I=\int_\gamma \left(y+xy\right)\mathrm{d}x$\qquad $\displaystyle\iint_D -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$
Mais comment représenter $D$ ?
$\displaystyle\int_0^1\ds\int_0^x -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y+\ds\int_0^1\ds\int_0^{x^2}-x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ?
Est-ce bien Green-Riemann ?
Merci de votre aide.
Je n'ai pas su résoudre l'intégrale suivante par Green-Riemann : $\displaystyle\iint\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\displaystyle\int_\gamma P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
Soit $\Gamma$ la courbe fermée dans le sens direct, constituée des deux portions de courbe comprises entre les points d'intersection de la droite $y=x$ et $y=x^2 $.
Calculer $\displaystyle I=\int_\gamma \left(y+xy\right)\mathrm{d}x$\qquad $\displaystyle\iint_D -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$
Mais comment représenter $D$ ?
$\displaystyle\int_0^1\ds\int_0^x -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y+\ds\int_0^1\ds\int_0^{x^2}-x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ?
Est-ce bien Green-Riemann ?
Merci de votre aide.
Réponses
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Holà ! Où vas-tu ?
1°) Tu dois pouvoir calculer la première intégrale $I$ sans trop de problème. Deux arcs de courbe faciles à paramétrer !
2°) Avec Green-Riemann, $I$ est égale à une intégrale double sur $D$ (tu n'as pas dit qui c'est, mais c'est sans doute le domaine délimité par $\Gamma$ ?). Quelle intégrale double ?
3°) Compare l'intégrale double obtenue au 2°) avec celle que tu as à calculer. Que te manque-t-il ? Peux tu calculer le bout qui manque ? -
Bonjour Papy,
Je ne comprends pas bien moi non plus.
Tu cherches à calculer $I=\displaystyle\int_\gamma \left(y+xy\right)\,\mathrm{d}x$
Autrement dit tu as $P = y+xy$, donc que vaut $\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?
Cette intégrale curviligne est à la portée de Christophe, c'est bêtement
$$\int_0^1 (t^2+t^3) \,\mathrm{d}t - \int_0^1 (t+t^2) \,\mathrm{d}t.$$
Je ne vois pas pourquoi tu viens déranger Green et Riemann.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
C'est bien, ev, tu as l'air de savoir faire le 1°).
-
Merci.Bu a écrit:1°) Tu dois pouvoir calculer la première intégrale $ I$ sans trop de problème. Deux arcs de courbe faciles à paramétrer !Bu a écrit:2°) Avec Green-Riemann, $ I$ est égale à une intégrale double sur $ D$ (tu n'as pas dit qui c'est, mais c'est sans doute le domaine délimité par $ \Gamma$ ?).ev a écrit:Autrement dit tu as $ P = y+xy$, donc que vaut $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?
$ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-x $
Mais après pour les bornes de mon intégrale double, je ne sais plus. -
Les deux questions à se poser:
$x$ appartient à quoi?
Pour chaque $x$ fixé, $y$ appartient à quoi?
Représente toi le domaine sur un plan et ca deviendra plus clair -
J'essaye encore~:
$ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Est-ce que ton énoncé te demande de calculer $ \displaystyle\iint_D -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ? C'est ce que j'avais compris, mais finalement ce n'est pas clair.
-
XouYauchoix a écrit:Les deux questions à se poser:
$ x$ appartient à quoi?
Pour chaque $ x$ fixé, $ y$ appartient à quoi?
Représente toi le domaine sur un plan et ca deviendra plus clair
Pour le dessin, je vois ce que ça donne, l’énoncé est clair.
$I=\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^x_0 -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y-\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^{x^2}_0 -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$
Je ne comprends pas ce qu'il y a de faux dans : $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-x $ avec $ I=\displaystyle\int_\gamma \left(y+xy\right)\,\mathrm{d}x$ -
Ben calcules $\dfrac{\partial P}{\partial y} $ pour commencer...
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
J'ai oublié le $1$, $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-1-x $
-
Tout d'un coup, c'est plus propre ! Maintenant l'intégrale double. C'est de la géométrie, donc ça mérite un dessin.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Le fameux dessin :
-
Bonsoir Papy,
Vu que je t'ai donné l'expression de l'intégrale curviligne par le calcul direct et que cette intégrale double n'est pas trop dure à calculer - que même Christophe y arriverait c'est tout dire - tu dois avoir un élément de réponse.
Et la réponse est...
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour,
$ I=\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^x_0\left(-1 -x\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}x-\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^{x^2}_0\left(-1 -x\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}x.$
c'est ce résultat sur le quel je m'interroge (s'il est juste). C'est le premier exercice avec Green-Riemann où la fonction n'est pas exprimée en polaires.
Il suffit donc de faire la différence des aires sur $x\in[0,1]$ délimitées par $x=0$ et $y=x$ d'une part et par $x=0$ et $y=x^2$ d'autre part pour trouver les bornes, Green-Riemann "donnant" la fonction à intégrer ? -
Bonjour,
avec quel logiciel travaille t-on pour les graphiques soient lisibles sur ce forum. A priori, pas Geogebra ?
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Bonjour!
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