convergence faible après zéro

Steven Neutral

Bonjour,
J'ai un processus gaussien continu $G$ de fonction de variance $v(t)$, et une suite de processus $(X_n)$ qui converge faiblement vers $G$ dans $D[\epsilon,1]$ pour tout $\epsilon >0$. De plus, $X_n(0)=0$. Peut-on en déduire que $v(t) \to 0$ et qu'il y a convergence faible dans $D[0,1]$ ?

Steven Neutral

Personne n'en pense quelque chose ? Ce truc me coince. On peut se poser la question avec $C[\epsilon,1]$ au lieu de $D[\epsilon,1]$, si quelqu'un préfère...

raphayel

Bonjour

Je ne suis pas spécialiste de ces questions, mais je définis bêtement $X_n$ comme étant égal à $X$ sur $[\epsilon,1]$ et une interpolation linéaire entre $0$ et $\epsilon$ et ce que ça ne contredit pas?

Steven Neutral

Ben nan, ton truc est construit pour un seul $\epsilon$.

Steven Neutral

Je vais préciser mon problème mais je ne sais pas si ça change quelque chose. Je fais des stats. J'ai un estimateur $\hat{S}_n$ de la fonction $S(t)=P(X>t)$ pour une certaine v.a. positive $X$. Je sais démontrer que $X_n:=\sqrt{n}\left(\hat{S}_n - S\right)$ converge faiblement dans $D[\epsilon,1]$ vers $G$ (pour tout $\epsilon$ mais $G$ ne dépend pas de $\epsilon$).
Ce processus $G$ est un processus gaussien continu centré, et j'ai la variance $v(t)$ de $G(t)$ pour tout $t>0$. En zéro, il y a un problème : $v(0)=\frac{0}{0}$ et $v(t)$ est compliquée, je n'arrive pas à déterminer $v(0^+)$. Comme $X_n(0)=0$ j'ai du mal imaginer qu'on puisse avoir $v(0^+)\neq 0$ et que ça ne converge pas dans $D[0,1]$.

Steven Neutral

Grandiose ce lemme dans Kallenberg : {\it A sequence $(\xi_n)$ of random variables in $\mathbb{R}^d$ is tight if and only if $c_n\xi_n \to 0$ in probability for all sequences $c_n \to 0$.} Comme j'ai (je l'avais pas dit) $\sup_{t \in [0,1]}|X_n(t)| = O_P(1)$ ça me donne $\sup_{t \in [0,1]}|c_nX_n(t)| = O_P(|c_n|})$, {\bf mais ce lemme a-t-il un analogue dans $D[0,1]$ ? }

Steven Neutral

Ah ouaip je m'réveille : il y a un "demi-analogue" dans $D[0,1]$ ; la tension est caractérisée par 2 conditions et l'une d'elles est équivalente à l'analogue de la condition de Kallenberg. Il reste la condition sur le module de continuité...

Steven Neutral

Ah mais je crois que j'étais aveuglé tellement je voulais que ce soit vrai. Si on fait comme raphayel mais en prenant $X_n$ égal à $X$ sur $[1/n,1]$, avec $X$ qui ne part pas de $0$, ça contredit non ?..
Je ne sais même pas répondre à la question en supposant que je sache que $v(0^+)=0$... je crois que je vais zapper...