structure de groupe sur machine?

skyrmion

Bonjour,

Je suis en train de lire un polycopié d'algèbre et je ne comprends pas la phrase "Pour cette raison, on omet parfois la loi unaire$-$ et la constante $0$ comme éléments constitutifs de la structure de groupe. Cette prise de position ne tient pas si l'on veut implémenter une structure de groupe sur machine : on doit alors donner l'élément $0$ et la la loi $x\mapsto -x$ de manière explicite."

Ce petit passage vient après la définition d'un groupe (en notation additive) comme un ensemble $G$ décrit par le format $(G,+,-,0)$, où $+$ est une loi binaire, $-$ une loi unaire et $0$ une constante telles que
\begin{enumerate}
\item $a+(b+c)=(a+b)+c$
\item $a+0=a$
\item $a+(-a)=0$
\end{enumerate}

Je ne comprends pas vraiment l'histoire de l'implémentation sur machine. Quelqu'un a-t-il un éclaircissement?

Cordialement, sk.

asko

Bonjour skyrmion

A lire ta préoccupation j'ai l'impression que t'es en train de lire un cours d'algèbre pour informatique. En fait implémenter dans une machine à mon humble avis c'est adapter au comportement d'une machine.
C'est à dire comment adapter de façon pratique une structure de groupe c'est-à-dire programmer une sorte de "logiciel groupe" dans une machine de telle sorte qu'il se comporte comme on le veut mathématiquement. C'est pourquoi par exemple pour implémenter ce genre de chose il faut ajouter une 2ème loi unaire (-) car mathématiquement on sait passer d'un nombre à son opposé mais la machine elle ne sait pas le faire.

skyrmion

Bonjour,

En fait je viens de commencer à lire le cours de H. Lombardi sur les anneaux et les modules disponible ici : http://hlombardi.free.fr/EnseignementWeb/Modules-M1.pdf . A un mois de mon 35e anniversaire, je me suis dit qu'il était enfin temps de savoir ce qu'est un module (même si j'ai une sainte horreur de l'algèbre).

C'est donc plutôt un poly de maths non orienté info et c'est la première fois que je lisais une remarque de ce genre au sujet d'un groupe. N'ayant aucune connaissance algorithmique et informatique, je ne vois pas trop la signification. Prenons le cas simple d'un groupe discret d'ordre fini assez petit, il suffit de rentrer la table du groupe (ce qui suppose quand même de la connaître) pour implémenter le groupe, non? Pas besoin de donner une loi $-$, enfin je suis bien d'accord que la donnée de la table est implicitement la même chose.

Cordialement. sk.

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db

Voici une interprétation possible, mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne.

La présentation qui est donnée est une présentation par équations. On peut donner une autre présentation sans 0 et sans loi unaire, mais ce ne sont plus des équations (il y a des quantificateurs existentiels). Un avantage d'une présentation par équations est que le problème de savoir si deux termes sont égaux est semi-décidable. En plus, dans le cas des groupes, si tu orientes bien tes égalités, c'est-à-dire qu'au lieu de dire que a + (-a) = 0 tu dis a + (-a) se réduit en 0, etc..., le problème devient décidable.