Matrice irréductible

sheeper

Bonjour j'ai une definition/proposition que je ne comprends pas.
Une matrice M est irreductible si il existe un scalaire r et un entier n tels que $ (A_{ij}) \geq 0 $ pour tout i,j où$ A = (M+rI)^n $

merci de vos lumières

borde

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Ga?

Bonjour,

Je connais la notion d'irréductibilité pour les matrices positives (histoires de Perron-Frobenius et cie). Voir par exemple ici. Est-ce de ça dont il est question ? Je le soupçonne, mais alors l'énoncé serait plutôt :
Une matrice positive $M$ est irreductible si et seulement s'il existe un scalaire $r>0$ et un entier $n$ tels que $ A_{ij}> 0 $ pour tout $i,j$, où $ A = (M+rI)^n $.
Je peux expliquer pourquoi.

Ga?

Bonjour Borde, je vois que tu as posté pendant que j'écrivais. Une chose me chiffonne dans ce que tu écris. Tu affirmes que ce que sheeper a écrit est correct, avec la définition que tu donnes d'irréductibilité ?

borde

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Ga?

Oui. Ca revient bien à la version que je donnais pour les matrices positives. Une chose que je ne sais pas : la notion d'irréductibilité sert-elle pour autre chose que pour les matrices positives ?
Une référence agrégative : Mathématiques générales 1995.

borde

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sheeper

merci pour vos réponses
mais quelqu'un pourrait plus precisement m'expliquer comment on passe de la définition de l'irreductibilite d'une matrice à la "propriété utile"que j'ai cité en premier post ?

Ga?

D'abord, qu'une chose soit bien claire : CE N'EST PAS la propriété que tu cites dans ton premier post (voir les messages plus haut de Borde et moi-même).
On peut se limiter au cas des matrices à coefficients $\geq 0$. \`A une telle matrice $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ on peut associer un graphe orienté $G$ de sommets $\{1,\ldots,n\}$, avec une flèche $i\to j$ exactement quand $a_{i,j}>0$. Tu peux montrer les choses suivantes :
1) $A$ est irréductible si et seulement si pour tous $i,j$, il existe dans $G$ un chemin de $i$ vers $j$ et un chemin de $j$ vers $i$.
2) Si $r>0$, alors le coefficient en ligne $i$ et colonne $j$ de $(A+rI)^p$ est $>0$ si et seulement s'il existe un chemin de longueur $\leq p$ dans $G$ de $i$ à $j$.
Avec ça, tu peux conclure.

Novice11

Je suis en prepas j'ai bossé dessus pour mon tipe si ca peut t'aider voici une partie de ce que j'ai fait:

Une matrice carrée positive M de taille n est dite ergodique (=irréductible) lorsque son graphe est fortement connexe. Le graphe étant est constitué de n sommets et le nombre d'arêtes orientées reliant le sommet i au sommet j est indiqué dans la ligne i et la colonne j de la matrice.
Ainsi M carrée positive ergodique ⟺ il existe un chemin orienté entre tous les sommets du graphe
M est caractérisée par le fait qu’il existe k ≤〖 n-1 tel que (M + I_n ) 〗^k > 0
Démonstration de la caractérisation :
On sait que M^k illustre un chemin de longueur k ∈ N
Et le graphe de 〖 (M + I_n ) 〗^k possède les mêmes sommets que celui de M^ est dans lequel un arc relie deux sommet i et j s’il existe dans le graphe M un chemin de longueur ≤ k reliant i et j (*)
Rappelons qu’un graphe est fortement connexe si pour tout i, j il existe un chemin qui relie i à j
D’après (*) , le graphe de M est fortement connexe ⟺ il existe k 〖 entier naturel tel que (M + I_n ) 〗^k > 0
De plus, un graphe peut être simplifié en supprimant les cycles donc un tel chemin simplifié ne peut passer qu'une fois au plus par chaque sommet : il est donc de longueur ≤ n - 1
Donc ∃ k ∈ N≤〖 n-1 tel que (M + I_n ) 〗^k > 0


J'espere que cela t'aidera

[Une aide qui sera bienvenue, deux ans plus tard j]