Triangle rectangle et droites parallèles

Bonjour,
voici un problème de géométrie élémentaire :

Soit ABC un triangle rectangle en A et D le pied de la hauteur issue de A.
Soit Cb le cercle de centre B passant par D ; soit Cc le cercle de centre C passant par D.
Soit C le cercle tangent extérieurement à Cb et à Cc dont le rayon est le double de la hauteur h = AD .
On appelle Db la tangente extérieure commune à C et à Cb ne coupant pas Cc . On appelle Dc la tangente extérieure commune à C et à Cc ne coupant pas Cb.

Montrer que Db est parallèle à Dc.

Bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • En fait, je ne sais pas tracer la figure ! Le centre du cercle C est situé sur la nappe de l'hyperbole de foyers B et C et qui passe par le point D. On peut faire avec Geogebra, mais pas à la règle et au compas :-(.

    Bruno
  • Bah ? Bien sûr que si, on peut faire à la règle et au compas.

    Le centre du cercle recherché est l'intersection de deux cercles de centres B et C de rayons connus. Kolotoko est fautif en disant "le" cercle, puisqu'il y a deux solutions.
  • Ici, on peut bouger le point A.

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    <param name="boxborder" value="false" />
    <param name="centerimage" value="true" />
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    <param name="cache_version" value="3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0, 3.2.44.0" />
    <param name="framePossible" value="false" />
    <param name="showResetIcon" value="true" />
    <param name="showAnimationButton" value="true" />
    <param name="enableRightClick" value="false" />
    <param name="errorDialogsActive" value="true" />
    <param name="enableLabelDrags" value="false" />
    <param name="showMenuBar" value="false" />
    <param name="showToolBar" value="false" />
    <param name="showToolBarHelp" value="false" />
    <param name="showAlgebraInput" value="false" />
    <param name="allowRescaling" value="true" />
    Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (<a href="http://java.sun.com/getjava">Click here to install Java now</a>)
    </applet>

    Et on s'aperçoit, en approchant A de B ou de C, que la description "On appelle Db la tangente extérieure commune à C et à Cb ne coupant pas Cc" est aussi fautive ! :D
  • Suis-je bête !

    Bruno
  • Parfait, Bu, ton dessin interactif.
  • Bonjour,


    Je me suis laissé emporter par le cas de figure que je considérais pour proposer ce fautif problème .

    On voit sur l'animation le parallélisme d'une des deux tangentes extérieures à C et Cb avec une des deux tangentes extérieures à C et Cc .

    Avez vous preuve de cela à proposer ?
    Bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    Soient X, Y et Z les rayons respectifs de $C_b$, $C_c$
    et du troisième cercle, tangent aux deux premiers et
    que j'appelle $C_1$.
    On peut d'abord remarquer que$A$ est le milieu d'une
    tangente commune à $C_b$ et $C_c$ (construction
    classique) et donc que $Z$ est la longueur de cette
    tangente commune (non tracée) et que $Z = 2\sqrt{XY}$ car la hauteur
    $AD$ est égale à $\sqrt{XY}$.
    Prenons la figure à l'envers:

    2vrwkrn.png

    On a en nombres complexes $L(-1)$, $I(0)$ et $M(1)$, donc $Z=1$.
    Je joins le fichier ggb zippé où $G$ est mobile sur $C_1$, et
    l'image en png car je n'ai pas encore compris comment
    joindre une animation.
    Les autres points sont indiqués sur le dessin.

    Soit $G(g)$ et $H(h)$, $g$ et $h$ étant de modules 1.
    On a : $b = (1+X)g$ donc $n = (1+X)g+X$.
    Et comme $Ré(n) = 1$, on a $\displaystyle n+\overline{n}= 2$.
    $\displaystyle (1+X)g+X+(1+X)\frac{1}{g}+X = 2$, ce qui donne $\displaystyle g = \frac{1-X+2i\sqrt{X}}{1+X}$
    On obtient de même : $\displaystyle h = \frac{-(1-Y)+2i\sqrt{Y}}{1+Y}$.

    D'autre part $BC = \left\lvert (1+Y)h-(1+X)g \right\lvert = X+Y$ :
    $\displaystyle [(1+Y)h-(1+X)g][(1+Y)\overline{h}-(1+X)\overline{g}] = (X+Y)^2$
    $\displaystyle 2+2X+2Y-2XY-(1+X)(1+Y)(g\overline{h}+h\overline{g}) = 0$

    Grâce aux expressions de $g$ et de $h$ ci dessus on obtient
    $-(1+X)(1+Y)(g\overline{h}+h\overline{g}) = 2(1-X)(1-Y)+8\sqrt{XY}$
    qu'il n'y a plus qu'à reporter et on obtient enfin $4XY=1$,
    ce qui est bien équivalent à $Z = 2\sqrt{XY}$.

    Il resterait à justifier l'équivalence.

    Cordialement,

    Rescassol

    19629
  • Bonjour,

    Je reprends la figure "à l'endroit":

    359lao6.png

    Cette figure a de nombreuse autres propriétés, que je n'ai pas eu le temps
    de chercher à démontrer, quelques alignements entres autres.
    La signification des points est indiquée sur le dessin.
    $Q$ est le centre radical des trois cercles bleus, et $PQ$ se trouve
    être la polaire de $O$ par rapport à $C_1$. Elle est parallèle aux deux
    tangentes communes parallèles.

    Cordialement,

    Rescassol

    NB: le fichier ggb zippé est en GéoGébra 4.0.

    19631
  • C'est quoi la propriété pour dire qu un triangle est rectangle avec des parallels
  • Pourrais-tu préciser ta question ?

    Bruno
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