dérivée et dérivée seconde

sadfub0

Bonjour
j'ai $f(x)=\frac{1}{3} \vert \vert A x \vert \vert ^3$ où $A$ une matrice carrée réelle de taille $n$

On me demande , pour $x$ non nul , de calculer $(f'(x),h)$ : pas de problème, connaissant la différentielle de la norme ....
on trouve $(f'(x),h)= \vert \vert Ax\vert\vert ^t A A x.h$

après on me demande de montrer que :

$$(f" (x).h,h)=\vert \vert Ax \vert \vert . \vert \vert Ah \vert \vert^2 +\frac{1}{\vert \vert Ax \vert \vert} (Ax,Ah)^2$$

j'ai essayé la formule de Taylor , mais sans résultat , auriez vous une idée merci

egoroffski

Salut,

Tu as $f'(x)=b(u(x),v(x))$, où $u(x)$ est un scalaire, $v(x)$ une forme linéaire sur $E=\R^n$, et $b$ l'application bilinéaire continue de $\R \times E^*$ vers $E^*$ qui à $(u,v)$ associe $uv$. Avec ces ingrédients, tu dois être capable de calculer la différentielle de $f'$ en fonction de celles de $u$ et $v$.

C. de Pluquaire

Bonne nuit,

Tu dérives f'(x).h sauvagement, comme un produit. Un bon conseil (dans tous les cas): calcule f"(x).(h,k) = D[f'(x).h].k avec k arbitraire, et ensuite seulement tu fais k = h. Vérification faite, la formule donnant f"(x).(h,h) est exacte.

Bien cordialement.

sadfub0

Bonsoir,

j'hésitais de faire sauvagement : mais finalement je préfère.
Merci à vous deux.

C. de Pluquaire

Bonne nuit,

Tu peux faire sauvagement parce que egorov t'as donné la justification adéquate ! Sinon, s'il n'y a pas de théorème sur les produits dans ton cours, ton prof. n'est pas obligé de te croire.

Bien cordialement.