Image non ouverte

gram

Bonjour,

je cherche à savoir comment se comporte une application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, $C^1$ sur un ouvert, en un point où le jacobien s'annule de façon isolée.

En tout point où le jacobien est non nul, le theoreme d'inversion locale assure qu'il existe un voisinage dont l'image est ouverte.
En un point isolé d'annulation, dans le cas particulier d'une fonction holomorphe non constante, il existe un voisinage dont l'image est ouverte.

J'ai donc cherché un exemple de fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, $C^1$, non holomorphe, dont le jacobien s'annule en un point isolé et un voisinage dont l'image est non ouverte. Pour le moment sans succès.

Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclairer ?
Par avance merci
Cordialement

gram

Bonjour,
je fais un petit up.

Ma première difficulté est que je ne parviens pas à construire une fonction $f=(f_1,f_2)$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, $C^1$, dont le jacobien s'annule en un point isolé, intérieur à un ouvert.

La plupart des fonctions que j'ai considérées sont très régulières de telle sorte que le lieu des points tels que $\frac{\partial f_1}{\partial x} \frac{\partial f_2}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial x} \frac{\partial f_1}{\partial y}=0$ est une courbe - pas de point isolé.

A part une fonction holomorphe non localement constante telle $z^2$ bien sûr. En fait, c'est le contexte des fonctions holomorphes qui m'amène à faire cette recherche, pour mieux comprendre le gain en régularité: l'image reste ouverte même quand le jacobien s'annule.

Alors, si quelqu'un pouvait me souffler un indice, je lui en serais reconnaissant.

Cordialement

seub

Salut Gram,

Un petit message de soutien! Ta question est légitime et à première vue je ne trouve pas de réponse.

Ce n'est pas très dur de fabriquer des fonctions dont le jacobien s'annule en un point isolé, mais trouver de telles applications qui ne sont pas ouvertes, je ne suis pas sûr que ce soit possible.

remarque

Moi non plus, je ne trouve pas de réponse, mais j'ai du mal à voir comment une telle application pourrait ne pas être ouverte. En effet, soit $x_0$ un tel point, et $D$ un disque centré en $x_0$. Alors $f(D\setminus\{x_0\})$ est un ouvert. Cela pourrait se mal passer si on avait $f(x_0)\in f(\partial D)$, ce qui me semble impossible, car si l'on trace une coupure joignant $x_0$ à $\partial D$, on obtient un ouvert connexe, dont l'image est connexe, alors que l'image de la coupure est un chemin joignant deux points de $f(\partial D)$, dont le complémentaire ne semble pas connexe... Tout ça repose un peu trop sur des dessins pour être honnête, malheureusement.

seub

remarque je ne comprends pas ton message. Déjà c'est quoi une coupure?

gram

Bonjour et merci à vous deux! -D

seub a écrit:

Ce n'est pas très dur de fabriquer des fonctions dont le jacobien s'annule en un point isolé,

En fait je serais volontiers preneur d'un exemple non-holomorphe car je sèche... :S

remarque a écrit:

si on avait $f(x_0)\in f(\partial D)$

Ou $f(x_0)\in \partial f(D)$ ou bien est-ce la même chose?

En tous cas merci pour cette piste à explorer. L'image ouverte est souvent présentée comme propriété merveilleuse des fonctions holomorphes non localement constantes; bon cela n'exclut pas que d'autres puissent l'avoir, mais j'avoue que ça me perturbe un peu.

Cordialement

seub

Salut,

Vraiment, tu sèches pour trouver des fonctions dont le jacobien s'annule en un point isolé? Déjà en posant $f_1(x,y) = x$, tu trouveras une foule de $f_2$ qui conviennent.

J'ai lu quelque part que Hopf a été le premier à remarquer que si $f : \R^n \rightarrow \R^n$ avec $n \geqslant 3$ est lisse et n'admet qu'un point critique $p$ isolé, alors $f$ est un homéo local en $p$. Je ne connais pas ce théorème et je ne trouve pas de référence. En tous cas, si ce théorème existe, le fait qu'il soit énoncé pour $n \geqslant 3$ laisse penser qu'il est faux pour $n=2$. Au fait l'exemple (ou contre-exemple) qu'on cherche, s'il existe, doit vérifier que le point singulier est même un point critique, ça me semble facile à montrer.

Je me demande si il y a un rapport avec le théorème de Poincaré-Hopf, ce qui laisserait penser qu'il y a un peu de topologie (algébrique) dans l'histoire. D'un autre côté il est tout à fait possible qu'il y ait une réponse très bête à ta question, dans un sens ou dans l'autre, et qu'on ne la voie pas.

gram

wow (tu) oui apparemment j'avais un blocage

On peut considérer $(x,y) \rightarrow (x, x^2 y+\frac{y^3}{3})$, de jacobien $x^2+y^2$, elle n'est pas analytique et me convient très bien . Ouf, une difficulté de levée !

Cordialement

remarque

Je pensais à ce dessin :

Mais ça ne va pas plus loin.

seub

Je vois. Mais remarque que tu n'utilises pas l'hypothèse que le point singulier est isolé, donc il y a un problème.

Le problème de ton dessin c'est que le bord de l'image ($\partial f(D)$) peut n'avoir aucun rapport avec l'image du bord ($f(\partial D)$)... l'image du bord peut tout à fait atterrir entièrement dans l'intérieur de l'image (pour être clair dans ton dessin le point rouge n'a aucune raison d'être au bord à l'arrivée).

Exemple : j'ai pensé à $f(x,y)=(x,(x^2+y^2)e^{y})$ (le problème étant que $0$ est un point singulier qui n'est pas isolé) L'image de $f$ c'est le demi-plan supérieur strict + l'origine (on a bien que $f$ n'est pas ouverte en $0$). L'image d'un petit cercle de centre l'origine est un petit cerclé déformé au-dessus de l'origine...

remarque

(pour être clair dans ton dessin le point rouge n'a aucune raison d'être au bord à l'arrivée).

Dans la mesure où $f$ est un difféomorphisme local, y compris de variété à bord en dehors du point isolé, je vois mal comment il pourrait en aller autrement.

seub

Oui tu as raison, autant pour moi. Tu utilises bien l'hypothèse que c'est un difféo local sur les points du bord... Peut-être que ton dessin peut se transformer en preuve, je ne sais pas.

gram

Merci à tous deux pour vos contributions.

Cordialement

seub

Ouais sauf qu'on ne t'a pas répondu au final! Je garde la question dans un petit coin de ma tête... Si je trouve la réponse je viendrai la poster.

Au fait quand j'ai écrit:

"J'ai lu quelque part que Hopf a été le premier à remarquer que si $f : \R^n \rightarrow \R^n$ avec $n \geqslant 3$ est lisse et n'admet qu'un point critique $p$ isolé, alors $f$ est un homéo local en $p$. Je ne connais pas ce théorème et je ne trouve pas de référence. En tous cas, si ce théorème existe, le fait qu'il soit énoncé pour $n \geqslant 3$ laisse penser qu'il est faux pour $n=2$"

Il est bien évident qu'il est faux pour $n=2$ puisque déjà pour les fonctions holos y a de la ramification ($z\mapsto z^2$). Cela n'empêche pas que $f$ doive nécessairement être ouverte... Ta question reste donc entière (en ce qui me concerne).