Somme égale produit

jeremyjeff

Bonjour,
Un petit exercice facile à trouver mais difficile à prouver.

Trouver tous les nombres enteirs a,b,c tels que leur somme soit égale à leur produit ie : a+b+c = a*b*c

On voit effectivement que : 1+2+3 = 1*2*3 convient,
mais comment prouver que c'est l'unique solution ?
Par encadrement ?

Merci

plop0

Pour simplifier on peut déjà remarquer que le plus petit des nombres est nécessairement 1.

plop0

Et on peut continuer dans la même veine. (J'ai compris "entiers" comme "entiers strictement positifs).

D. Hilbert

Plus généralement, il y a $(0,0,0)$ qui convient, mais encore $(1,2,3)$, $(1,3,2)$, $(3,1,2)$, \dots Autrement dit, toute permutation $\sigma$ de $\mathfrack{S}([1,3])$ distincte de l'identité est telle que $(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))$ est encore solution du problème.

A +

Bruno

Bonjour, je n'ai rien compris ou bien il s'agit des nombres parfaits ? Voir là.

Bruno

mister_jones

C'est marrant ; dans la page wikipedia sur les nombres parfaits, certains grands nombres ont été interprété comme des numéros de téléphone un peu partout dans le monde...

gram

Bonjour,

Je suppose que le problème est à résoudre pour des entiers positifs.

On suppose que de tels nombres non nuls existent.
D'après D. Hilbert, le problème est invariant par permutation.
Cette invariance permet de supposer $a \le b \le c$
On a alors $a+b+c \le 3c$, par suite $ab \le 3$

A partir de là, enumérer les possibilités pour a et b.

Ensuite, faire la synthèse en incluant le cas du triplet nul et toutes les permutations des solutions trouvées.

Cordialement