Médianes perpendiculaires

chephip

Bonjour,

Un petit exercice amusant et facile : (d'après une idée sur le forum geometry.puzzles)

Montrer qu'un triangle ABC a ses médianes AM et BN perpendiculaires si et seulement si $AC^2 + BC^2 = 5 AB^2$
Donner un exemple de la vie pratique où un tel triangle est de plus rectangle.

Amicalement.
Philippe.

Rescassol

Bonjour,

Une référence: concours général 2007, exercice 3.

Cordialement,

Rescassol

Bouzar

Bonsoir

Voici ce que je propose pour le sens direct.
Soit $ABC$ un triangle qui a ses médianes issues de $A$ et de $B$ perpendiculaires.
Montrons que $AC^2 + BC^2 = 5 AB^2$
Soient $P$ le milieu de $[AB]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.
Selon le théorème des médianes, on a : \qquad $\displaystyle AC^2+BC^2=2CP^2+\dfrac{AB^2}{2}$.
Par ailleurs, dans le triangle $BGA$ rectangle en $G$, on a : \qquad $\displaystyle GP=\dfrac{AB}{2}$.
De plus, comme $CP$ est la médiane issue de $C$ dans le triangle $ABC$, on a : \quad $\displaystyle CP=3GP$.
On a donc que \qquad $\displaystyle CP=3\dfrac{AB}{2} $
ce qui donne\qquad $\displaystyle 2CP^2=9\dfrac{AB^2}{2}$.
Mézalor, on en tire que : \[ AC^2+BC^2=9\dfrac{AB^2}{2}+\dfrac{AB^2}{2} =10 \dfrac{AB^2}{2}=5AB^2.\]

Bruno

On peut quand même traiter les deux sens par une équivalence.

Les deux médianes se coupent en $G$ centre de gravité du triangle ; si $O$ est le milieu de $[AB]$, les médianes sont perpendiculaires si, et seulement si $OG = OA = OB$ d'après le théorème du triangle rectangle, or $3\,OG = OC$. Donc les médianes sont perpendiculaires si, et seulement si :$$OC = \frac 3 2\,AB$$Le théorème de la médiane fait le reste.

Bruno

Bouzar

Je poursuis mes élucubrations.

Dans la relation $AC^2 + BC^2 = 5 AB^2$ si on pose $AC=b, BC a$ et $AB=c$, on est en présence d'un problème d'arithmétique analogue à la recherche des triplets pythagoriciens de la forme $b^2+a^2=5c^2$ avec la condition $|a - c| < b < a + c$ (on doit avoir un "vrai triangle").
On a par exemple $b=22,$ $a=31$ et $c=17.$
On a aussi de manière élémentaire, $b=2,$ $a=1$ et $c=1.$

kolotoko0

Bonjour,

les terrains (1 ; 2 ; 1) ne sont pas chers !
bien cordialement
kolotoko

chephip

Bonjour,

Merci à Rescassol pour la référence.
Le problème étant "de facture classique" il était sûrement déja posé plusieurs fois. Mais comme il n'y en avait pas trace sur le forum, je l'ai proposé.

Merci aux autres pour les demos. Pour ma part j'avais en fait directement "redémontré" le théorème de la médiane en développant $ 3\overrightarrow{OG}^2 $, O milieu de AB.

Quant à chercher de tels triangles à côtés entiers, on peut les obtenir facilement en partant de triplets de Pythagore $c^2 = u^2 + v^2$ et en utilisant l'identité
$a^2 + b^2 = 5c^2 = (2^2 + 1^2)c^2 = (2^2 + 1^2)(u^2 + v^2) = (2 u \pm 1 v)^2 + (2 v \mp 1 u)^2$

ce qui donne
$a = |4rs - r^2 + s^2|, \quad b = |2rs + 2r^2 - 2s^2|, \quad c = r^2 + s^2$
Comme pour les triplets de Pythagore, cela donne les triangles primitifs.
Il est nécessaire que r et s soient premiers entre eux et de parité opposée, mais pas suffisant pour avoir pgcd(a,b,c)=1. De plus ils doivent satisfaire à l'inégalité triangulaire.

Cela donne, avec r,s <10 et après filtrage, les triangles primitifs :
(31, 22, 17) (59, 58, 37) (101, 62, 53) (149, 118, 85) (19, 22, 13) (41, 38, 25) (71, 58, 41) (109, 82, 61) (79, 122, 65) (121, 158, 89)
(209, 142, 113) (271, 178, 145)

Amicalement

Bruno

Bonjour chephip.

Je reste sur ma faim : a écrit:

Donner un exemple de la vie pratique où un tel triangle est de plus rectangle.

N'ayant pas vraiment l'esprit pratique, je n'y vois rien .

Bruno

chephip

Bonjour Bruno,

Si tu cherchais déja les dimensions d'un tel triangle rectangle avec deux médianes perpendiculaires ?
(ça ne devrait pas te prendre plus de quelques secondes, avec le résultat précédent)

Et si on prend deux triangles comme ça on obtient un rectangle que tout le monde a.

Amicalement.

Bruno

Tu veux dire que c'est un rectangle au module des feuilles commerciales $\sqrt 2$ ! Joliment vu.

Bruno

chephip

Oui.

On peut d'ailleurs démontrer directement - triangles semblables - que ces médianes là du "triangle demi-A4" sont perpendiculaires.

Amicalement.

bs

Bonjour,

Dans le Lespinard-Pernet - 1ère A',C, M, M' - on trouve à l'exercice B-71, en deuxième question:

2) Construire un triangle $ABC$ sachant que les côtés sont liés par la relation $b^2+c^2=5a^2$ connaissant le côté $a$ et l'angle $A$. Discuter.

Amicalement.

bs

Re,

Je trouve comme condition nécessaire: $\cos A \geq \dfrac{4}{5}$, et je la trouve également suffisante...

Amicalement.

chephip

Bonsoir,

J'avais $tg(A/2) \le 1/3$

Sinon pour la construction:

cassiopella

Encore une solution possible:

Supposont qu'on a un triangle ABC avec les médianes BN et AM pérpendiculaires qui se croisent en O. Les triangles AOB, BOM, OMN, ONA sont rectangle en O. On obtient ces égalités:
1) BC²/4 = MO² + BO² d'après Pythagore
2) AC²/4 = NO² + AO² d'après Pythagore
3) AB² = OB² + OA² d'après Pythagore
4) De plus grace au théorème de Thales on sait que MN || AB (CN/AC = CM/CB = 1/2) Donc AB² = 4MN²
5) MN² = OM² +ON² d'après Pythagore

En utilisant ces égalités:
BO² = BC²/4 - MO²(1)
AO² = AC²/4 - NO²(2)
AB² = BC²/4 + AC²/4 - (MO² + NO²) (3)
AB² = BC² + AC² - AB²/4 (4) et (5)
(4AB² + AB²)/4 = (BC² + AC²)/4
Et voilà