Formes quadratiques en dimension 4

Eric Chopin

Bonsoir,

Il y a un résultat apparemment assez connu mais dont je ne trouve pas de démonstration
(ou disons plutôt que j'ai la flemme de parcourir quelques milliers de pages de théories
des formes quadratiques pour la trouver ....).

Si quelqu'un l'a ou a une ref assez synthétique sur le sujet je suis preneur.

Sur un corps local autre que $\C$, toute forme quadratique $a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^2 + a_4x_4^2 $
dont le discriminant est un carré est équivalente soit à $\pm(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 )$ si elle est anisotrope,
soit à $x_1.x_2 + x_3.x_4$ sinon.

Autre question, il me semble avoir lu que sur un corps local $K$, le cardinal de $K^\times / (K^\times)^2$
est au plus 8 mais je ne suis plus sûr des conditions exactes, alors si quelqu'un les a (et la démonstration
ça serait top), ça m'intéresse aussi...

Merci d'avance,
Eric

J.

Eric,

Tu fais des travaux de recherche ? Tu écrits un livre ? Quid ?

J.

Eric Chopin

Travaux de recherche, c'est un bien grand mot, mais disons que oui. Je m'intéresse depuis
pas mal d'années à la conjecture de Riemann en effet.


Eric

christophe c

Toute réflexion passionnée est une forme de recherche. L'écriture d'un livre est autrechose, souvent le résultat obtenu ou un cours ou une construction qu'on veut transmettre. alala si tout cela était financé plus correctement... snif.

scoubidoo

Ton résultat est faux si le corps n'est pas archimédien. Par contre dans ce cas, il y a seulement deux classes de formes quadratiques de dimension 4 et de discriminant 1:
$x_1x_2+x_3x_4$ et $x_1^2+x_2^2+\varpi x_3^2+\varpi x_4^2$ où $\varpi$ est une uniformisante.

On a même pour tout $D\in F^{\times}$ et pour $n\geqslant 4$, il existe exactement deux classes de formes quadratiques de discriminant $D$ et de dimension $n$.


Pour ta question sur $F^{\times}/F^{\times 2}$ je crois que la condition c'est $F$ de caractéristique nulle et de caractéristique résiduelle $2$ (à vérifier).

Eric Chopin

ok merci, alors peut-être qu'il manque une hypothèse dans le papier de Weil ou j'ai lu ca (ou que j'ai mal lu...),
par contre il l'applique ensuite à une forme de Pfister $<1,-a,-b,ab>$, on dirait que dans ces conditions
ca a des chances d'être vrai d'après ce que tu dis, non?

Eric

Eric Chopin

En fait mon erreur vient sans doute que Weil ne parle pas explicitement de la forme $<1,1,1,1>$
mais de la norme définie sur l'algèbre de quaternions du corps local, j'ai sans doute identifié les 2 un peu vite....

Eric

Eric Chopin

Sur les conseils de Greg je suis allé consulter le Scharlau "Quadratic and Hermitian Forms" et ca m'a
effectivement l'air d’être une bonne piste (par contre pour l'aspect "synthétique", c'est pas gagné...).

Merci a Greg en tous cas (et à Scoubidoo pour ses remarques). Si d'autres ont aussi
des refs elles seront les bienvenues..

Eric