Le paradoxe de Roland Garros

Lucas

Bonjour à tous,

Je ne résiste pas au plaisir de vous raconter quelque chose que je n'ai découvert (honte sur moi en tant que probabiliste et fan de tennis) que très récemment dans l'excellent livre de vulgarisation

Nonplussed (Julian Havil)

Le problème est le suivant : on suppose que lors d'un match de tennis le joueur qui sert a une probabilité $p$ de gagner le point, chaque point étant indépendant. Rappelons que l'unité de base d'un match est le "jeu", on gagne un jeu lorsque l'on gagne 4 points avec 2 points d'écart : un jeu peut par exemple avoir la configuration suivante :

0-0 -> 15-0 -> 30-0 -> 30-15 -> 40-15 -> Jeu gagné,

ce qui arrive avec probabilité $p\times p\times (1-p)\times p\times p$. Le paradoxe est le suivant, si l'on note $P_{40-30}$ la probabilité que le serveur gagne en partant du score 40-30, on a
$$
P_{40-30}=p + \frac{p^2(1-p)}{ p^2 + (1-p)^2 }
$$
(le calcul est détaillé dans le livre). Si l'on part de 0-0,
$$
P_{0-0}=p^4(1+4(1-p)+10(1-p)^2) + \frac{ 20p^5(1-p)^3 }{ p^2+(1-p)^2 }.
$$
Si l'on trace $p\mapsto P_{40-30}$ en rouge et $p\mapsto P_{0-0}$ en bleu on obtient...

gerard0

Bonjour.

Cette situation ne me paraît pas paradoxale, car si p est proche de 1, il devient très rare que l'on passe par 40-30 pour gagner. Je suis plutôt surpris de la faiblesse de la différence.
Autre remarque : la différence est vraiment faible, de l'ordre de un dix-millième en absolu ou en relatif. Bien inférieure à la variabilité naturelle de la capacité à gagner d'un joueur au cours d'une partie.

Cordialement.

Lucas

Certes mais $P_{40-30}$ est la proba de gagner sachant qu'il y a le score 40-30 (je n'ai peut-être pas été clair). Ca paraît une situation plus favorable que 0-0 non?

gerard0

Ah non, ce n'est pas plus favorable. A 0-0, il y a de très fortes chances pour le meilleur des deux d'arriver à 40 sous la forme 40-0, ou 40-15 qui sont bien plus favorables pour gagner que 40-30, surtout si p est proche de 1.

Cordialement.

alekk

Completement d'accord avec Gerard!
Changeons un peu les regles et considerons que le gagnant du jeu est le premier qui atteint $100$ points. Si le serveur est bon et gagne avec une chance de $p=0.7$ (par exemple), la probabilite que le serveur gagne le jeu est tres grande. Par contre, partant de $P_{99,98}$, il y a une chance assez grande ($=0.3^2=0.09$) que le receveur gagne.

Lucas

Tss Tss, vous avez perdu votre âme d'enfant... Moi devant un tour de magie, je ne cherche pas le truc. Sérieusement, ce que je trouve intéressant c'est que la transition soit pour un $p$ pas si grand que ça.

Demandez à Federer si sur gazon il préfère commencer tous ses jeux à 0-0 ou 40-30 et vous verrez!

raphayel

Pour résumer ce que disent Alekk et Gérard: Les paradoxes, ça n'existe pas!

Sinon quelle est la probabilité que le meilleur joueur gagne le matche?

JLT

Demandez à Federer si sur gazon il préfère commencer tous ses jeux à 0-0 ou 40-30 et vous verrez!

Mais si Federer commence ses jeux à 40-30, il va spécialement se concentrer pour essayer de faire un ace, alors que si le jeu dure plus longtemps il doit conserver un peu d'énergie.