Processus de comptage

sheeper

Bonjour, comment faire pour compter le nombre de sauts d'un processus de Poisson de paramètre 1 sur l'intervalle continu [0,t] ?
Merci

[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]

raphayel

Bonjour

L'ensemble des sauts d'un processus de Poisson de paramètre $1$ est un processus de Poisson ponctuel sur $[0,t]$ de paramètre $t$...Autrement dit ce nombre de sauts suit une variable de Poisson de paramètre $t$...(que de poissons...)

Pour le prouver, tu peux calculer $\mathbb{P}(N\geq n)$ par récurrence et utiliser le fait qu'une variable exponentielle $V$ n'ait pas de mémoire: $$\mathbb{P}(V>x+y| V>x)=\mathbb{P}(V>y).$$

C'est fait dans le 1er chapitre des livres de Bertoin et Sato (respectivement) sur les processus de Lévy.

sheeper

bonjour, est-ce normal si pour un Processus de Poisson ponctuel N de paramètre $\lambda$, même pour $\lambda$ très proche de 0, je trouve que $P(N_{[0,T]} \geq 1)$ est proche de 1 ?

Steven Neutral

Après 11 mois tu connais la loi de $N_{[0,t]}$ ?