dispersion loi binomiale

Chers amis,
Avez-vous une démonstration à proposer de $E[|X-X'|] =o(n)$ où $X,X' \sim_{\text{iid}} \mathrm{Bin}(n,\frac12)$ ?

Réponses

  • Chacune est dans $[n/2\pm n^{1/2+\varepsilon}]$ avec une proba exponentiellement proche de $1$, ça suffit non?
  • Et direct un coup de Jensen sur la racine carrée, ça ne suffit pas ?

    Amicalement,
  • Yes Lucas c'est le genre d'idée qui vient vite à l'esprit mais je m'intéresse à un coup plus direct comme celui proposé par Kuja que je n'ai pas compris : Jensen me dit $E|X-X'| \geq {\bigl(E\sqrt{|X-X'|}\bigr)}^2$, toi que voulais-tu dire ?
  • Je pensais à la version concave de Jensen qui donne $E|X-X'| \leq \sqrt{E(X-X')^2}$ et le terme sous la racine vaut $\textrm{Var}(X-X') = 2\textrm{Var}(X) = n / 2$, sauf erreur de ma part.

    Amicalement,
  • Mortel (tu) (quant à moi je me mets une claque pour mon Jensen à l'envers)
  • Pffff... Jensen c'est beaucoup trop compliqué comme outil alors qu'on a Hoeffding sous la main ;)
  • La preuve de Kuja est parfaite, mais j'ai quand même envie de signaler une preuve alternative plus sophistiquée. Divise tout par $n$. On a $X/n-1/2$ qui converge dans $L^1$ vers $0$. De même avec des primes. Du coup en faisant la différence, $X/n-X'/n$ converge dans $L^1$ vers $0$. Et donc l'espérance tend vers $0$.
  • Ah ouaip Plop et d'ailleurs on a même la loi asymptotique de $(X-X')/\sqrt{n}$ si on veut aller plus loin.
  • Je trouve la preuve de Plop beaucoup plus élégante !
  • @Steven : on peut même expliciter davantage.

    On a (avec des notations que j'espère claires)
    $$
    X-X' = \sum X_i - \sum Y_i = \frac12\left( \sum (2X_i-1) - \sum (2Y_i-1)\right).
    $$
    On voit ainsi que $X-X'$ est la moitié d'une binomiale de paramètres $2n$ et $1/2$, si je ne dit pas de bêtises.
  • (Bon j'ai dit des bêtise, c'est la motiée d'une binomiale recentrée)
  • Je ne sais pas si tu es encore là Plop, mais merci pour cette jolie astuce. On trouve $$ (n+1) \frac{\begin{pmatrix} 2n \\ n-1 \end{pmatrix}}{2^{2n}}.$$
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