Forme intégrale de zêta

breukin

Quels seraient les principes de la démonstration de cette forme intégrale de la fonction zêta ?
$$ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + 2 \int_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t)\text{d}t}{(t^2+1)^{s/2}(e^{2\pi t}-1)} $$

TokyoHotel

Bonjour,

d'où vient ce résultat ? est-ce récent ?

cordialement

tao0

Bonsoir

ça découle de Hurwitz Zeta Riemann voir http://mathworld.wolfram.com/HurwitzZetaFunction.html

peut-être y a la preuve dans Whittaker Watson Modern Analysis

G.J.

jean lismonde

bonjour

un changement de variable t = tan(u) te permet de trouver une intégrale plus abordable:

intégrale de 0 à pi/2 de (cosu)^(s-2).sin(su).du/[exp(2pi.tanu)-1]

Simon Plouffe (mathématicien canadien contemporain) a étudié plusieurs formes intégrales pour Zéta
dont celle-ci avec des fonctions exponentielles en dénominateur

est-ce lié aux relations intégrales de Zéta avec la fonction Gamma? c'est possible
je ne saurai t'en dire plus

cordialement

tao0

C'est Hermite qui prouva
$$\zeta(z,q) = \frac{1}{2}q^{-z} + \frac{1}{z-1}q^{1-z} + 2q^{1-z}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z \tan^{-1}u)}{(1+u^2)^{z/2}(e^{2\pi u q }-1)} du$$
Voir http://129.81.170.14/\~{}vhm/FINAL2001a.pdf
G.J.

[Correction du lien. AD]

breukin

Voir 129.81.170.14
J'ai vu, mais je ne suis pas intéressé par un papier qui dit "Hermite proved the alternative integral representation", mais un document ou une réponse qui donne les principes de la démonstration de cette forme intégrale.

Bouzar

Bonsoir

Selon mes souvenirs, il faut utiliser la formule de Abel-Plana dont un aperçu est donné ici http://mathworld.wolfram.com/Abel-PlanaFormula.html

pour prouver que $\zeta(z,q) = \frac{1}{2}q^{-z} + \frac{1}{z-1}q^{1-z} + 2q^{1-z}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z \tan^{-1}u)}{(1+u^2)^{z/2}(e^{2\pi u q }-1)} du$ et en posant $z=1$ tu as ce qu'il fallait.

Sinon j'ai ceci :

breukin

Merci.

capesard

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loken

Bonjour capesard
J'aimerais savoir comment tu as calculé cette partie (intégrale) de la forme intégrale de zêta.
J'ai essayé avec la substitution x=tan(x) mais l'intégrale semble difficile à résoudre
Merci d'avance

breukin

Il ne s'agit pas de résoudre l'intégrale, mais de faire le changement de variable, puis faire l'hypothèse que $ s $ est zéro.