Agreg 2011 (math géné)

tenuki

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http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,662265,662303#msg-662303
Salut tout le monde,

Un message pour parler (un peu) des écrits.

Aujourd'hui, c'était maths géné. Désolé je n'ai pas de scanner, je vais donc me contenter de parler du thème général... Le but était de montrer que si on a un polynôme unitaire à coefficients entiers, l'ensemble des matrices diagonalisables (sur C) à coefficients entiers est une réunion finie de classes de similitude entière (i.e. de classes de similitude à matrice de passage dans GLn(Z)).

Enfin bon il y avait plein de choses avant ça, dont beaucoup de questions élémentaires je trouve, en particulier montrer que le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon est le polynôme sous-jacent, montrer qu'une matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si les blocs le sont, montrer qu'un polynôme à coeffs rationnels qui divise dans Q un polynôme à coeffs entiers est en fait à coeffs entiers, etc...

J'ai trouvé le problème relativement long par rapport aux sujets que j'avais abordés cette année ; j'ai traité la partie 1 (sauf la question pourtant classique sur le fait qu'un polynôme irréductible sur Q n'a que des racines simples dans C :-( ), et la moitié de la 2. Je ne sais pas ce que ça vaut.

Qu'en avez-vous pensé ?

christophe c

Bon Bruno a dit qu'il me surveille alors... :P

en particulier montrer que le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon est le polynôme sous-jacent

Je confirme et je vous annonce une très grande nouvelle: je l'ai traité de 10h15 à 14h, mais je l'ai traitée (je suis même pas** sûr de l'avoir réussie, j'ai cru que j'allais leur demander d'appeler une ambulance), je voulais vraiment voir si faire un jour une question calculatoire allait me tuer (j'ai quand-même eu presque une sorte de malaise à un moment, mais je pense plutot au manque de nicotine).

Il me semble quand-même que j'en suis venu à bout (hélas 2 pages de rature vraiment impressionnantes). Ne me demandez pas de reproduire ce que j'ai fini par faire, 4H de ma vie envolées en fumée comme ça, j'ai du mal à me respecter.

Par contre, je suis preneur d'une banale preuve par récurrence pour voir si elle ressemble à la mienne. (le reste je m'en fiche, je l'ai pas fait, à part 2 ou 3 bricoles. )

** edit lapsus j'avais oublié le "pas" snif

christophe c

dont beaucoup de questions élémentaires je trouve, en particulier montrer que le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon est le polynôme sous-jacent

:X :X :X :X

t'imagines pas le mal que tu fais aux gens sans le vouloir -D

afk

Je l'ai trouvé assez simple dans le sens où il y avait pas mal de questions que je savais résoudre mais que je n'ai pas abordé faute de temps.

Pour la I-B-2 "Montrer qu'un polynôme $P$ irreductible sur $\Q$ est à racines simples dans $\C$", j'ai beaucoup douté. La question précédente demandait de montrer que $P$ est à racines simples ssi $P$ et $P'$ sont premiers entre eux. J'ai essayé de l'utiliser mais je ne voyais pas comment donc j'ai fini par écraser le problème à coup de Galois: le groupe de Galois de $P$ opère transitivement sur les racines donc elles ont toutes la même multiplicité $m$ donc $P = Q^m$ mais $P$ irréductible donc $m=1$.

J'ai été géné dans la question II-C-2-a "Montrer que si $M \in M_l(\Z)$ est diagonalisable sur $\C$, il existe un polynôme $P\in \Z[X]$ à racines simples tel que $P(M)=0$". Je ne voyais pas comment montrer que le polynôme minimal de $M$ sur $\C$ coïncide avec son polynôme minimal sur $\Q$. J'imagine que cela se fait encore par Galois mais je n'ai pas voulu perdre de temps.

Au final j'ai fait le plus gros des parties I et II en zappant les questions qui ne me paraissaient pas évidentes.

sofsof

Salut,

J'ai fait à peu près comme toi. La première partie sauf 3 questions et un plus de la moitié de la partie 2. Je l'ai trouvé très long aussi.
Il y avait du monde dans vos salle ?

christophe c

J'ai trouvé le problème relativement long

Il ne me semble pas que ce soit objectif, je pense qu'un jeune au courant du programme et qui a bien bachoté a plutot pu le trouver court ce sujet, non? (Bon après peut-être y avait-il des questions difficiles cachées, mais "au kilo" et à vue de nez, il n'y avait pas énormément de questions, et c'était juste de l'algèbre linéaire, essentiellement sans rien d'autre m'a-t-il semblé?)

afk

sofsof écrivait:

---

> Il y avait du monde dans vos salle ?

Moins de 200 présents (peut-être même 180) pour 323 inscrits dans ma salle.

christophe c

ça va là Bruno, je suis correct ?

à afk, é bé tu me croiras pas, mais me semble que celle-ci j'ai dû écrire un truc, mais je me rappelle pu quoi, attends je reflechis

christophe c

ce qui est sûr c'est que si je me rappelle et si j'ai pas déliré, comme j'ai aucune connaissance, y aura pas de Galois dans l'histoire...

christophe c

eeu, oui je crois que comme P est irréductible, $\Q[X] / P$ est un corps (enfin, je veux dire que l'déal (P) est maximal). Comme P' n'est pas un multiple de P, alors il existe des polynomes a coefs dans $\Q$ disons U et V tels que UP+VP' = 1

Soit a une racine de P. Alors U(a)P(a) + V(a) P'(a) =1 et donc V(a)P'(a) =1 et donc P'(a) n'est pas nul.

(bon, sauf erreur comme on dit souvent sur le forum ...)

afk

Ouep, évident. Je me doutais que je faisais du hors programme. Dommage.

Fabrice2

Bonjour,
pour la question I.A.2.(a), montrer que Xc(p)=p, j'ai procédé par récurrence sur n, ça se faisait bien développant le déterminant sur la dernière ligne.
Autrement j'ai fait surtout les préliminaires.

christophe c

montrer que Xc(p)=p, j'ai procédé par récurrence sur n

J'ai généreusement donné 4H de ma vie pour cette oeuvre non charitable, je veux bien exceptionnellement une correction plus détaillée qu'un laconique "ca se fait bien par récurrence". Je m'engage à lire les calculs (ce sera une des seules et uniques fois de ma vie, mais je le ferai pour le sport)

N'est-ce pas là un énoncé que dans les milieux académiques on considère comme hyper archi répétés? (Je pensais ça, c'est pour ça que je ne voulais pas "la sauter" et faire front, pour le principe... si on remet toujours au lendemain)

Il me semble avoir deja entendu des gens dire "N'en parlons même plus, ça a été tellement fait et dit"?

Guego

Je m'immisce dans la conversation bien que n'étant pas agrégatif.


"Montrer qu'un polynôme $ P$ irreductible sur $ \mathbb{Q}$ est à racines simples dans $ \mathbb{C}$"

Par l'absurde, si ce n'était pas le cas, $P$ et $P'$ ne seraient pas premiers entre eux. Donc, en notant $Q$ leur pgcd (qui est le même dans $\C$ et dans $\Q$), on aurait $Q$ qui serait un diviseur non trivial de $P$, ce qui contredit l'irréductibilité de $P$. Non ?

christophe c

y avait pas une histoire de (-1) à la puissance (2n) assez chiante à laquelle fallait faire attention?

christophe c

à guego, autrement dit ce que j'ai raconté ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,662308,662337#msg-662337, c'est invalide?
,

afk

Le fait que le pgcd est le même dans $\C$ et $\Q$ n'est pas totalement évident. J'avoue que j'ai du mal à savoir ce qu'on peut considérer comme évident dans le cadre du programme et ce qui ne l'est pas. En particulier, le programme ne couvre pas le produit tensoriel de sorte que tous les problèmes de changements de corps de base sont à traiter "à la main". Je me rappelle d'un sujet où il fallait justifier explicitement que la dimension du complexifié d'un $\R$-ev était sa dimension réelle.

Je pense que la démonstration simple et élégante de CC est celle qui est attendue.

christophe c

Pour en revenir à polycar ( de mat compagnon de P ) = P, je pourrais écrire tout un roman sur l'art de chercher sans trouver une voie calculatoire libératrice, mais une chose que je voudrais vraiment savoir, c'est si à un moment quand on fait une récurrence, y a pas un souci avec " - truc fois (-1) à la puissance n fois (-1) à la puissance (n-1)? " qui ferait qu'on s'y perd?

Guego

Je parle du pgcd qui vaut forcément $1$ et toi, tu parles de relation de Bezout entre $P$ et $P'$. Ça revient finalement au même.

christophe c

Je pense que la démonstration simple et élégante de CC est celle qui est attendue.

T'imagine pas à quel point ça me fait plaisir!!!! Pour une fois que je sers à quelque chose sur un évènement "traditionnel".

Franchement, je crois que j'ai failli m'embarquer dans une preuve que P irréductible => (P) maximal, parce que je n'étais pas sûr, puis je me suis dis tant pis, après tout pourquoi y aurait que les autres qui font des coups de bluffs

tenuki

Oui, pour la récurrence, il faut l'écrire proprement mais il y a plein de façons. J'avais déjà fait un sujet cette année où cette question était posée (et cette fois-là je m'étais planté, j'espère que c'est mieux aujourd'hui). Ma façon de procéder :
-développer suivant la première colonne ; on trouve donc X*(le polynôme de la matrice compagnon de taille (n-1) qu'on veut)-1*un_certain_déterminant ;
-sur ce_certain_déterminant, développer par rapport à la première ligne est judicieux puisque le seul terme non nul est le dernier, et il vaut -a_0. On trouve donc -(1)^n*(-a_0)*un_certain_autre_déterminant ;
-et ce_certain_autre_déterminant est celui d'une matrice triangulaire supérieure avec des (-1) sur la diagonale. On regroupe tout ça et c'est gagné.

Sinon effectivement, il fallait s'en tirer à coup de pgcd(P,P') pour la question sus-résolue et ça m'énerve de pas y avoir pensé

tenuki

Et sinon pour le coup du pgcd invariant, ce n'est pas très simple d'écrire que le pgcd s'effectue par opérations dans l'algorithme d'Euclide qui n'utilise que des opérations compatibles avec la structure de corps ?

afk

Simple peut-être mais rapide?

christophe c

à tenuki, merci infiniment, je rendtre de courses. Bin, t'es entrain de me dire que j'ai peut-être réussi ce calcul!!!!!

(et je m'en veux d'autant plus qu'après 10 pages de brouillon plus que dégueu (je n'avais pas dû toucher un stylo au sens propre ourquoi que ce soit depuis decémbre dernier, olala, quand on s'habitue à taper sur un clavier, la main devient tres vite handicapée) je n'ai même pas pris la peine de rédiger ça correctement (enfin d'un autre coté je le faisais surtout pour moi, mais je m'en veux quand-même))

On regroupe tout ça et c'est gagné.

et je crois bien que c'est là que le bat blesse. On trouve -a0 fois (-1) à la puissance n fois (-1) à la puissance (n-1) non?
(et je me trompais d'un cran, ie je trouvais "X à la puissance (n-1)", et pas moyen de m'en sortir)

Mais même quand j'ai fini par trouver (-1) à la puissance (n-1), je me disais, "non pas possible, on peut faire reposer un résultat sur le risque d'un erreur avec cet espèce de petit n vs n-1 vs le signe - du début, alors je reocmmancais tout pour trouver une histoire ou y a pas de merdouille consistant à mettre des (-1) à la puissance n et je n'ai pas trouvé. Et finalement tu me dis que "oui", y a cette merdouille et qu'elle est incontournable?

maxrun

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un pourrait mettre le sujet en ligne ? Merci beaucoup.
Bon courage pour demain à tous les candidats

maxrun

[Regarde le 1er message de ce fil, sinon va voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,662265,662303#msg-662303 . AD]

Bruno

Christophe, je viens de compter : tu as écrit 12 des 24 interventions de ce sujet. Celui-ci est a priori réservé à ceux qui passent en ce moment l'agreg.

Bruno

christophe c

tu as écrit 12 des 24 interventions de ce sujet. Celui-ci est a priori réservé à ceux qui passent en ce moment l'agreg.

C'est vrai je suis prolixe... Mais pas de chance, un ami commun à toi et moi a exigé sur un ton n'autorisant pas le refus la semaine dernière que j'y aille faire un tour (je ne suis d'ailleurs pas sûr qu'il ait idée de l'année que je viens de passer, mais je lui dirai quand je le verrai... j'ai pas trop eu le temps). Bin, clopin clopant j'y suis allé faire un tour cet apresmidi et donc je passe l'agreg en ce moment tu t'y attendais pas à celle-là -D

(Et je ne regrette pas, j'y ai croisé de jeunes femmes dont je ne me serais pas imaginé qu'elles puissent venir (comment on dit deja) pas "stagner", un truc du genre "tremper" mais un mot avec un "m" pas marauder GRRRR :X, bref à un exam de maths)
edit: j'ai trouvé le mot!!!!!! massérer macérer Tu devrais surveiller ton aurtografe !

sofsof

afk écrivait:

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> sofsof écrivait:
>

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>

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> > Il y avait du monde dans vos salle ?
>
> Moins de 200 présents (peut-être même 180) pour
> 323 inscrits dans ma salle.


A peu près 60 sur 100 dans ma salle. Je me demande pourquoi il y avait autant d'absents et si c'est comme ça tous les ans.

Dr Geodingus

Je crois avoir entendu 22 présents sur 34 inscrits à Caen...

afk

L'année derniere il y avait 1177 présents sur 2332 inscrits (C'était 1384 sur 2351 l'année précédente) soit 50% de présents/inscrits d'après le pre-rapport du jury 2010:

beaucoup de candidats s’inscrivent mais se sentent insuffisamment préparés. Ce fait semble confirmé par analyse un peu plus fine qui montre que cette diminution est particulièrement visible dans les catégories des étudiants hors ENS.

Mais je ne sais pas si le nombre de présents est comptabilisé sur les présents aux 2 épreuves écrites ou 1 seule.

PS: @CC One word: creepy!

sofsof

Je viens d'aller voir les stats de l'an dernier.
Il y aavit 1335 présents sur 2632 inscrits. C'est habituel alors.

sofsof

On n'a pas exactement les mêmes chiffres mais ils vont dans le même sens. (j'ai pris les miens du site education.gouv)

super_cafard

Salut Christophe,

je ne vois pas trop où tu te sers du fait que Q[X]/(P) est un corps. Peux tu préciser ?

Il me semble suffisant de dire que comme P est irréductible sur Q, P est premier avec P' donc par Bezout (toujours dans Q[X]), on a la relation que tu dis.

Puis on considère une racine dans C et on fait ce que tu dis (en étant dans C) et on conclut grâce à la question précédente (où K sera le corps C).

Bref, je ne vois pas où le fait que Q[X]/(P) est un corps intervient, à quel moment te places tu dans ce quotient ?

Je me trompe ? (je ne suis plus fraîche du tout)

Bon, je sais pas, j'ai sauté cette question pensant qu'elle était bien plus mystérieuse que ça ;-)


Pour le déterminant, j'ai développé par rapport à la dernière colonne, ça donne le résultat immédiatement, je n'ai pas jugé utile de rédiger la récurrence et j'imagine que j'aurais dû (c'est pourtant un des rares trucs que je sache encore faire en maths...).

Bye.

afk

Comment montres-tu que $P$ irreductible implique $P$ premier à $P'$?

Edit: en effet, $P$ irréductible donc $P$ non premier à $P'$ implique $P|P'$ or $deg(P') \leq deg(P)$ avec égalité ssi $P = 0$ donc $P =0$ ou $P$ inversible absurde.

christophe c

à Bruno, merci pour les corrections orthographiques

à afk: je viens de taper "creepy" sur google, et donc j'avoue : "?????"

creepy
adj
(=frightening)
[place] qui fait frissonner, qui donne la chair de poule
¡ú his creepy old house may be haunted
(=sinister)
[person] sinistre
¡ú what secrets is their creepy landlord hiding?

---

creepy-crawly *
n petite bestiole f

christophe c

Salut Christophe,
je ne vois pas trop où tu te sers du fait que Q[X]/(P) est un corps. Peux tu préciser ?

Et bien en fait, il n'y en a peut-être pas besoin, mais c'est la seule façon (pour moi , je viens les poches vides, loool ) de prouver l'existence de U,V tels que... L'inférence P est premier avec P' car P est irréductible, je ne la savais pas autorisée.

JLT

Did he mean "crappy" ?

christophe c

j'ai développé par rapport à la dernière colonne........ça donne le résultat immédiatement

:X:X un peu d'égard pour les handicapés comme moi.

christophe c

loooooooooooooooooooooooooooooool

crappy
adj
*
[thing, novel] nul(nulle) *

Traduction Dictionnaire Collins Anglais - Francais Dictionnaire Collaboratif Anglais-Français

'crappy' trouvé dans les traductions du dictionnaire Français-Anglais
nulle à chier adj. crappy
nul à chier

tenuki

Chez moi (à Rennes), à vue de nez, à peu près 75% des présents dans la salle. Il faut dire également que la moitié des candidats présents venaient du magistère Rennes 1/ ENS Cachan, c'est donc normal que le taux soit plus haut qu'ailleurs.

christophe c

de afk

en effet, $P$ irréductible donc $P$ non premier à $P'$ implique $P|P'$

la partie bleue est une inférence valide à l'agreg?

christophe c

a ba oui, loool c'est valable dans tout anneau

christophe c

En fait il faut savoir par coeur ce que veut dire "irréductible" pour ça...

je détaille pour les gens: si a est un diviseur commun à b et c et si a est irréductible alors b est aussi un diviseur de a donc b divise c...

En fait, moi y a un truc qui a dû me marquer un jour c'est que dans un anneau principal un idéal premier est maximal (en fait ça m'a marqué parce que j'en ai parlé hier sur le forum à propos des anneaux artiniens vs noethéiren dans un fil sur les polynomes) et comme j'arrive jamais à me rappler ce que veut dire irréductible dans un anneau (ok, ok c'est pas bien) je m'en tiens au fait que dans les truc académiques ca veut dire "engendre un idéal premier dans un anneau principal" (en fait je pense aux nombres premiers) et donc j'arrive à être sûr à 97,5% que dans un anneau principal un élément irréductible a est tel que (a) est premier bin voui, tout ça c'est pas glorieux... Mais qu'est-ce qu'elle est pourrie la théorie des anneaux "factoriels" et cie... Je la déteste y a plein d'indices ça déclenche des allergies... Du coup ca m'en ferait oublier que "irréductible" a une signifacation simple

afk

Oui c'est trivial. La suite de la phrase était légèrement imprécise mais j'ai édité pour clarifier le cas $P$ constant.

Agreg_aujourdhui

Pour la question, sur les polynômes irréductibles sur Q, à racines simples dans C, j'ai mis :"Soit a une racine de P, alors comme P est irréductible sur Q P est le polynôme minimal de a sur Q, or si a était racine double a serait racine de P', ce qui est absurde", voila mais je ne sais pas si on pouvait utiliser la notion de polynôme minimal d'un élément, et sinon j'ai fait en gros partie I et II en entier et c'est tout.

sofsof

J'ai juste dérivé p=(x-a)Q où Q(a) est différent de zéro. Ça donne p'=(x-a)Q'+Q.
En a, ça donne p'(a)=Q(a)
J'espère que ce n'est pas une bêtise.

afk

Pour une fois je suis d'accord avec CC: irréductible = notion de merde (mais utile).

L'une des choses qui me gêne le plus dans l'enseignement de la théorie des anneaux est qu'on présente anneaux principaux et anneaux factoriels cote à cote. Or c'est totalement faux. Il y a la deux notion transverses. Je m'explique.

Les anneaux principaux sont de dimension de Krull 1. En termes élémentaires: $A$ est intègre et tout idéal premier non nul est maximal.

C'est faux dans les anneaux factoriels en général: pour $n>1$, $K[X_1,\ldots,X_n]$ est factoriel (theoreme de transfert de Gauss je crois: $A$ factoriel implique $A[X]$ factoriel) mais de dimension de Krull $n>1$. Pour voir que la dimension est $>1$, $(X_n)$ est premier mais $K[X_1,\ldots,X_n]/(X_n)= K[X_1,\ldots,X_{n-1}]$ n'est pas un corps. Géométriquement cela correspond au fait que "l'espace affine $K^n$ est de dimension $n$".

Une autre généralisation naturelle des anneaux principaux est celle qui conserve l'existence et l'unicité de la factorisation dans le sens suivant: $A$ n'est pas un corps et tout idéal $\mathfrak{a}$ de $A$ s'écrit de façon unique $\mathfrak{a} = \prod \mathfrak{p}^{e_\mathfrak{p}} $ où $\mathfrak{p}$ parcourt les idéaux premiers de $A$ et les $e_\mathfrak{p}$ sont presque tous nuls. Un tel anneau est dit de Dedekind.

On a "Dedekind $ \cap $ Factoriel = Principal" mais les deux familles "Dedekind" et "Factoriel" partent dans des directions opposées. "Dedekind" reste en dimension 1 mais avec des propriétés arithmétiques plus complexes que les anneaux principaux (et même euclidiens) $\Z$ ou $K[X]$, alors que "Factoriel" part en dimension supérieure.

christophe c

or si a était racine double a serait racine de P', ce qui est absurde

Bin non, c'est pas absurde, si?

(ou plutot tu utilises le fait que le polynome minimal ne change pas d'un corps à l'autre ce qui a donné lieu à un fil plus long que toute l'épreuve agreg sur ce même forum )

Agreg_aujourdhui

Non, $P$ est bien le polynôme minimal de $a$ sur $\C$ et comme $P$ est dans $\Q[X]$ $P'$ aussi, mais si $a$ est une racine double, on a montré avant que $P'(a)=0$ et comme le degré de $P'$ et plus petit que celui de $P$ on obtient une contradiction

Nguyen1

savez-vous ou on peut trouver ce beau sujet?

christophe c

Non, $P$ est bien le polynôme minimal de $a$ sur $\C$

Bon surtout, ne déprime pas, je veux juste te témoigner ce qui n'est pas évident pour moi (mais je ne suis vraiment pas une référence), pas ce qui n'est "pas vrai":

tu passes de P irréductible vu dans IQ à P est le poly minimal sur ... IC (serait-ce évident, disons pour un agregatif-sceptique, je sais pas si c'est comme ca qu'on nomme les "correcteurs"?)