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Compacité, relative compacité

Modifié (August 2023) dans Analyse
Bonjour
Quelle est la différence entre un espace compact et un espace relativement compact au niveau des suites ?
Dans mes cours, j'ai deux fois la même définition (toute suite possède une sous-suite convergente.)
Merci d'avance.

Réponses

  • A sous-ensemble de E est relatviement compact quand de toute suite d'éléments de A tu peux extraire une suite convergente, dont la limite est dans E

    A sous-ensemble de E est compact quand de toute suite d'éléments de A tu peux extraire une suite convergente, dont la limite est dans A

    Attention: valable uniquement dans les espaces métriques.

    Par ailleurs relativement compact veut juste dire "dont l'adhérence est compacte", et ça c'est la définition générale pour tous les esp.toppologiques.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci beaucoup pour cette réponse rapide et très claire.
    Sofia.
  • J'ajoute que compact = relativement compact et fermé.
  • Modifié (August 2023)
    Bonjour, pourriez vous me donner un exemple pour voir la différence entre une partie compacte et une partie relativement compacte ?? 
  • Modifié (August 2023)
    Bonjour.
    Une partie compacte est relativement compacte. Vois-tu pourquoi ?
    Reste à trouver une partie relativement compacte qui n'est pas compacte. La remarque de Remarque te donne la méthode.
    Cordialement.
  • Dans la même veine : est-ce que $\R $ est compact ? relativement compact ?
  • Une partie compacte est relativement compacte car un compacte en dimension finie est un férmé borné, et une partie relativement compacte est toujours bornée. 

    Par exemple dans $\mathbb{R}^n$:  Les parties relativement compactes sont des ouverts.
                                                               Les parties compactes sont les fermés et bornées.
  • rosemary a dit :
    Une partie compacte est relativement compacte car un compacte en dimension finie est un férmé borné, et une partie relativement compacte est toujours bornée. 
    Cela n'a rien à voir avec la dimension finie, d'autant que ce n'est pas une notion qui dépend d'une structure linéaire. 
    rosemary a dit :
    Par exemple dans $\mathbb{R}^n$:  Les parties relativement compactes sont des ouverts.
    Pas nécessairement. La boule unité fermée est compacte et (donc) relativement compacte.
  • Dans $\mathbb R$, l'intervalle [0,1[ est relativement compact, mais pas ouvert. Et il n'est pas compact.
    Que penses-tu de $[0,1[\cap \mathbb Q$ ?
  • Math Coss a dit :
    est-ce que $\R $ est relativement compact ?
    Question piège : relativement compact dans quoi ?

  • Modifié (August 2023)
    Disons, pas piège mais imprécise. 
    Edit : je vois deux réponses raisonnables. D'abord on peut se demander si $\R$ est u  compact relatif de $\R$, auquel cas la réponse est non. En effet cela voudrait dire que $\R$ est compact, ce qui est démenti par l'existence de suites qui divergent vers l'infini. 
    Par ailleurs on peut plonger $\R$ dans la "droite numérique achevée" $[-\infty,\infty]$ (un voisinage de $\infty$ est une partie qui contient un intervalle de la forme $\left]a,\infty\right]$). Et là $\R$ devient un compact relatif puisqu'une suite réelle bornée admet une valeur d'adhérence et qu'une suite réelle non bornée admet $\pm\infty$ comme valeur d'adhérence. 
  • Modifié (August 2023)
    Une petite contribution pour répondre à la question initiale : en dimension finie, les parties relativement compactes sont les parties bornées.
    Le 😄 Farceur


  • Peut-on dire que dans un espace localement compact, les bornés sont tous relativement compacts ?
  • @Démonstrator Dans un espace métrique localement compact, les parties bornées ne sont pas forcément relativement compactes. 

    Prends par exemple $X$ un ensemble infini muni de la distance discrète. C'est un espace localement compact, toutes ses parties sont bornées, mais ses sous-ensembles infinis ne sont pas relativement compacts.
  • Ah oui. Mais la réciproque est vraie par contre
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