Formule de récurrence

Bonjour,
j'ai deux suites, de premier terme $w_1$, données par récurrences et j'aimerais exprimer le terme général de la suite en fonction de $n$.

La première est \qquad $w_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+w_n}{2}}$ qui ne pose pas de problème puisqu'il suffit de poser :
$\theta_1=\arccos(w_1)$ et d'utiliser la formule : \quad $ \cos ^2 \theta = \dfrac{1+\cos (2 \theta)}{2}$ dans le cas de l'ellipse, et
$\theta_1=\mathrm{argch}(w_1)$ et d'utiliser la formule : \quad $ \cosh ^2 \theta = \dfrac{1+\cosh (2 \theta)}{2}$ dans le cas de l'hyperbole.
En revanche, je n'ai pas d'idée pour la deuxième : \quad $w_{n+1}=\dfrac{w_n}{\sqrt{1+2w_n}}$
Je mets cette question dans la rubrique "Géométrie" car je pense qu'il y a une propriété géométrique sous-jacente à ce problème qui consiste à subdiviser un morceau d'hyperbole de manière régulière en utilisant les points massiques et une forme quadratique adéquate afin que l'hyperbole soit un cercle unitaire.

Je joins une publication concernant ce travail (algorithme 3 et figure 5)

Réponses

  • bonjour

    es-tu certain de pouvoir expliciter w(n) ?
    je n'ai pas trouvé de formule trigonométrique qui permettrait d'aboutir

    dans ton interprétation géométrique de cette suite
    fais-tu allusion à l'inversion qui lie l'hyperbole à la lemniscate de Bernoulli?
    auquel cas ta suite serait explicitable par l'intermédiaire d'une relation de la trigonométrie lemniscatique
    c'est effectivement intéressant à savoir

    cordialement
  • Bonjour,
    en fait, je ne suis pas sûr de pourvoir exprimer la suite $w_n$, mais je me dis qu'il doit y avoir une raison géométrique, mais je ne vois pas du tout laquelle.
    En particulier, la formule donnant $w_n$ dépend du vecteur $\overrightarrow{P_3}$ et donc du choix du vecteur $\overrightarrow{P_2}$.

    De plus, la base $\left (\overrightarrow{P_2} ; \overrightarrow{P_3} \right )$ est "bizarre" puisque :
    \begin{itemize}
    \item $Q_H \left (\overrightarrow{P_2} \right ) = Q_H \left ( \overrightarrow{P_3} \right ) =0 $
    \item $L_H \left (\overrightarrow{P_2} ; \overrightarrow{P_3} \right )=1$
    \end{itemize}
    où $Q_H$ est la forme quadratique adéquate et $L_H$ la forme bilinéaire associée à $Q_H$.

    Si tu as $ \overrightarrow{u} = \alpha \overrightarrow{P_2} + \beta \overrightarrow{P_3}$, alors :
    \begin{itemize}
    \item $ \alpha = L_H \left ( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{P_3} \right ) $
    \item $\beta = L_H \left ( \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{P_2} \right )$
    \end{itemize}
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