la continuité

yoo

bonjour , je veux montrer la NON continuité de la fonction suivante : f(x)=1 si x appartient à Q et f(x)=0 sinon, en utilisant la définition de la continuité mais j'arrive pas à le faire .je veux montrer qu'il existe a élément de R et ε>0 tel que pour tout α>0 il existe x élément de R tel que |x-a|<α et |f(x)-f(a)|> ε . quelqu'un peut m'aider . merci d'avance

plop0

Utilise la densité de $\Q$ dans $\R$.

christophe c

Tu veux montrer la NON continuité, tu veux dire ?

edit j'enlève la citation, tu as dû utiliser un code ASCII spécial je pense

ok, je joue en premier: en prenant a:=1 et alpha epsilon := 0,5. Maintenant à toi de jouer le alpha qui va contredire la conclusion que tu désires.

yoo

en fait je connais une démonstration qui utilise la densité de Q dans R mais ce n'est pas ça ce que je cherche. je veux utiliser uniquement la définition

yoo

@christophe chalons . le ε on va pas le fixer en premier ?

christophe c

oups oui pardon, mais apparemment il y a eu un bug, je modifie mon post, y a plein de caractères japonais dedans

gerard0

Yoo a écrit:

en fait je connais une démonstration qui utilise la densité de Q dans R mais ce n'est pas ça ce que je cherche. je veux utiliser uniquement la définition

Et les propriétés de $\mathbb R$ et $\mathbb Q$, non ? Donc tu utilisera la densité, ne serait-ce que sous la forme ; entre deux rationnels, il y a un irrationnel et vice versa.

Cordialement.

yoo

@christophe chalons . je ne vois pas pourquoi tu as dit contredire la conclusion que je désire . En fait j'ai fixé le a et le ε et je cherche un x qui sera une fonction de alpha et qui vérfie les deux conditions |x-a|<α et |f(x)-f(a)|> ε

christophe c

oui on peut le dire pompeusement comme ça (pardon pour "contredire" d'ailleurs), mais en fait c'est à toi de jouer alpha et ensuite, moi je jouerai x

yoo

pour le alpha il faut juste le fixer dans R le problème c'est trouvé le x non ?

jydu56

Il suffit de construire une suite $u_n$ qui converge vers 1 et que $f(u_n) $ ne converge pas vers $f(1)$.

soit $u_n= 1+ \frac{1}{\ln{n}}$
lim $u_n=1$
$f(u_n)=1$
$f(1)=0$

Donc f n'est pas continue en 1 .

Ou bien soit une suite $u_n$ sur Q qui converge vers une limite l appartenant à R et non à Q.
Cela existe : $ (u_n= (1+\frac{1}{n})^n$ ; elle converge vers e .

$f(u_n)=0 $ et $f(l) =1$ puisque la limite l appartient à R.

donc f n'est pas continue pour des valeurs de R.

christophe c

pour le alpha il faut juste le fixer dans R le problème c'est trouvé le x non ?

Tu es entrain de demander à ton adversaire comment jouer !!! Faut pas. Joue ton alpha avec toutes tes tripes, on verra ensuite.

à Jy euu, tu compliques un peu je crois. Pas besoin de parler de suites et d'évquer une équivalence entre deux notions de continuité dans cette histoire, équivalence qui du reste serait bien plus difficile à prouver que sa simple négation

yoo

@christophe chalons ok si tu le dis. je prends alors alpha égale à 3/2 j'espère gagner cette fois-ci

christophe c

Et je prends x : = 1 + pi/10000000000000000000000000000000000 lol

yoo

tu as gagné apparement:) mais je ne vois l'intérêt de cette séance de ping pong ,on sait déjà que la proposition initiale est vraie pourquoi alors procéder comme ça ?

christophe c

Bin, c'est toi qui posait la question!!

La description de comment j'ai fait pour gagner, sa formalisation c'est la preuve que tu cherches, donc regarde "pourquoi j'ai gagné" et "pourquoi j'étais sûr de gagner" dès le départ.

yoo

et si tu avais perdu ? il sert à quoi en fait ce jeu si tu sais d'avance que tu vas gagner

christophe c

Tu demandais de rédiger une preuve de ça. Au lieu de la rédiger, je t'ai fait vivre une instance du truc pour que tu t'en rapproches. C'est à ca que ca servait mais ca a peut-être été inutile.

avec a:=1 et epsilon = 0,5, si tu joues alpha>0, je te réponds un x qui n'est pas rationnel compris entre 1 et alpha strictement et alors tu s deux choses:
|x-a| est bien inférieur à alpha
|f(x)-f(a)| est bien supérieur à 0,5

Et le texte en italique est la preuve que tu demandais

yoo

merci je vois mieux maintenant

christophe c

de rien et d'ailleurs je voulais ecrire 1 + alpha

jydu56

Peut-on faire le raisonnement suivant :

f application de R dans {0,1} est continue si l'image réciproque d'un fermé est un fermé.
Or l'image réciproque du fermé {1} est Q.
Comme Q n'est pas un fermé, f n'est pas continue.

christophe c

oui bien sûr mais tu admets alors des trucs:

1) que l'image récirpoque d'un fermé est un fermé (par une ap cont)
2) que Q n'est pas fermé

jydu56

@Christophe Chalons

1)l'image réciproque d'un fermé est un fermé pour une application continue, c'est un théorème classique trés proche de la définition de la continuité.( vrai aussi pour l'image réciproque d'un ouvert)
2) Q n'est pas fermé dans R puisque de nombreuses suites de Cauchy sur Q ne convergent pas dans Q, mais dans R : $(1+\frac{1}{n})^n $ suite de Q converge vers e qui n'appartient pas à Q; Q n'est donc pas complet et n'est donc pas fermé.

christophe c

Je ne t'ai pas dit le contraire, mais l'énoncé à prouver est contenu dans le fait que Q n'est pas un fermé. En gros, il te serait plus long de prouver que Q n'est pas fermé que de prouver que ta fonction f n'est pas continue.