Primitive

marc549

Bonjour à tous,

Je dois calculer la primitive suivante :
$$ \int \frac{dx}{x-2 + \sqrt{x^2 -2x +2}}$$
Quelle changement de variable faire ?
Je n'y arrive pas. Si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serai très reconnaissant.
Merci d'avance pour votre aide

[Avec LaTeX c'est plus attrayant. AD]

zephir

Bonjour,

Si tu connais la fonction sinus hyperbolique (sh) tente x-1)=sh(t).

marc5490

Merci de ta réponse.

Je pense pas que qu'on doit utiliser le sinus hyperbolique.
On m'a dit d'essayer avec x+t=racinecarree(x^2 - 2x +2) changement de variable mais je n'y arrive pas.

gb

Si \(x+t=\sqrt{x^2-2x+2}\), alors \((x+t)^2=x^2-2x+2\), donc \(2tx+t^2=-2x+2\) et on peut calculer \(x\) en fonction de \(t\) pour pratiquer le changement de variable.

marc5490

Merci beaucoup zephir et gb.

J'ai trouvé x en fonction de t et l'integrale se decomplexifie.

jean lismonde

bonjour

le changement de variable x = sh(t) + 1 est le bon

on tombe sur une primitive en t égale (à une constante additive près) à exp(-t) - t/2 + 2.ln[sh(t/2)]

bonne journée

jydu56

En multipliant le numérateur et le dénominateur la fonction à intégrer par la quantité conjuguée du dénominateur, $x-2-\sqrt{x^2-2x+2}$, on obtient la fonction à intégrer sous une forme plus sympathique : le dénominateur se réduit à $2(1-x)$.