une série entière théorique...
Réponses
-
Bonjour clothoide,
Je chercherais à savoir pour quelle valeur de \(z\) la suite de terme général \(a_n^2z^n\) est bornée, ou non bornée, puisque l'on sait que la suite de terme général \(a_nz^n\) est bornée pour \(\lvert z\rvert<R\) et non bornée pour \(\lvert z\rvert>R\). -
Bonsoir gb,
En effectuant un petit raisonnement par analyse-synthèse, on exploite tout d'abord le fait que $\sum a_nz^n$ admet $R>0$ pour rayon de convergence. Et cela se fait en écrivant que d'après le critère de d'Alembert, on a $|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ qui tend vers $\dfrac{1}{R}$ lorsque $n \to +\infty$. Cela permet de conclure que la quantité $|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|^2=|\dfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2}|$ tend alors vers $\dfrac{1}{R^2}$.
Donc que la série entière $\sum a_n^2 z^n$ admet $R^2$ pour rayon de convergence.
Es-tu d'accord?
C'est juste le début de ma rédaction.
Bien cordialement,
Clotho -
Bonjour,
Oui, mais si le rayon est $R$ ce n'est pas obligatoire qu'il soit donné par la règle de d'Alembert.
Cordialement. -
clothoide a écrit:cela se fait en écrivant que d'après le critère de d'Alembert, on a $|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ qui tend vers $\dfrac{1}{R}$ lorsque $n \to +\infty$.
L'erreur classique : la série entière \(\sum (\cos n)z^n\) a (comme toute série entière\dots) un rayon de convergence \(R\) (qui vaut en fait 1, mais ce n'est pas important\dots), et pourtant la suite de terme général \(\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert\) est divergente. -
Bonsoir,
faut faire gaffe à la nullité éventuelle des $a_n$, d'où la mise en garde de skirmi.
S -
$\sum a_nz^n$ admet $R>0$ pour rayon de
> convergence. Et cela se fait en écrivant que
> d'après le critère de d'Alembert, on a
> $|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|$ qui tend vers
> $\dfrac{1}{R}$ lorsque $n \to +\infty$.
>
bonsoir, est-ce un théorème ? comment cela se démontret-t-il ?
[Activation du \LaTeX. Bruno] -
Bon, je reprends tout.
Pour répondre à la question de gb, c'est à dire déterminer pour quelle valeur de \(z\) la suite de terme général \(a_n^2z^n\) est bornée, je dois bien trouver un lien entre ma série initiale et $\sum a_n^2z^n$.
Je fais cela en écrivant que : $|a_n^2| |z|^n=(|a_n| \sqrt{|z|^n})(|a_n| \sqrt{|z|^n})$. D'accord? -
clothoide écrivait:
> Je fais cela en écrivant que : $a_n^2 z^n=(a_n
> \sqrt{|z|^n})(a_n \sqrt{|z|^n})$. D'accord?
C'est l'idée mais il faut mettre des modules partout (à gauche et autour des $a_n$ dans le membre de droite). Tout ce qui t'intéresse c'est la bornitude ici. -
oui, je viens de rectifier. Il me semble qu'on doit travailler avec la convergence absolue.
Et ensuite, comme $\sqrt{|z|} <|z| \leq R$, on en déduit que $(|a_n| \sqrt{|z|}^n)$ est bornée.
Mais ensuite, je bloque...Et pourtant, je ne me vois pas loin de la conclusion. -
Bonjour Clotho.$ \sqrt{\vert z\vert} <\vert z\vert \leq R$
Relis attentivement le premier message de gb.
Amicalement,
zephir. -
Attention Clothoïde,
$\sqrt{0,25}=0,5>0,25$
Cordialement. -
Moi je ferais ça par le théorème d'Hadamard:
$\overline{\lim}\,\vert a_n\vert =1/R$ et comme la fonction carrée est croissante sur $\R^+$, on en déduit que
$\overline{\lim}\,\vert a_n\vert^2 =1/R^2$, cqfd. -
L'inverse du rayon de convergence n'est pas plutôt ${\limsup |a_{n}|^{1/n}}$?
-
oui, j'ai oublié le $1/n$! mais je crois que l'argument tient toujours la route quand même.
-
Bonjour,
Merci à tous pour vos indications.
A bientôt
Clotho
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres