triangle pédal des bissectrices

Gipé

bonjour,

Soit ABC un triangle et A', B', C' les pieds des bissectrices intérieures. Sait-on calculer les angles du triangle A'B'C' en fonction des angles du triangle ABC ?

merci !

pappus

Mon cher Gipé
Si tu espères obtenir des relations simples entre les angles du triangle $A'B'C'$ et ceux du triangle $ABC$, je crois que tu vas être déçu!
Par contre, il est parfaitement possible d'évaluer les lignes trigonométriques de ces 3 angles en fonction des longueurs des côtés du triangle $ABC$.
La démarche à suivre est la suivante:
1° Calculer les coordonnées barycentriques des points $A'$, $B'$, $C'$.
2° En utilisant la formule qui donne le carré de la distance $d²(M, M')$ en fonction des coordonnées barycentriques des points $M$ et $M'$, calculer les longueurs des côtés du triangle $A'B'C'$.
Là tu as intérêt à posséder un bon logiciel de calcul formel!
3° Appliquer les formules classiques de trigonométrie de la géométrie du triangle.
Amicalement
Pappus
PS
On dit plutôt triangle cévien que triangle pédal car la configuration obtenue est celle du théorème de Céva.
Nos amis anglais utilisent le vocabulaire de "pedal triangles" pour désigner ce que nous appelons "triangles podaires".

pappus

Si on veut éviter l'emploi des coordonnées barycentriques qui devraient disparaitre un jour ou l'autre de notre enseignement vu les tendances actuelles dans l'évolution de nos programmes, on peut aussi suivre la méthode suivante.
Il est facile d'évaluer les longueurs des segments: $BA'$, $A'C$, $CB'$, $B'A$, $AC'$, $C'B$ puisqu'on connait les rapports dans lesquels les points $A'$, $B'$, $C'$ divisent respectivement les segments $BC$, $CA$, $AB$.
Ensuite on calcule la longueur $B'C'$ dans le triangle $AB'C'$ dont on connait les côtés $AB'$ et $AC'$ et l'angle $\widehat A$, etc, etc....
Amicalement
Pappus

Gipé

ma chère Pappus,

merci pour ta réponse aussi rapide et détaillée !
c'est sûr qu'elle reste un peu frustrante : j'imaginais qu'il y avait un peu l'analogue d'une application entre "coordonnées barycentriques", qui ferait passer d'un triplet de somme égale à π à un autre triplet du même type...

merci encore
Gipé

pappus

Il y a des triangles céviens dont les angles se calculent bien, par exemple ceux du triangle orthique!
Amicalement
Pappus