égalité classique...

clothoide

Bonjour à tous,

Soit $f$ une application injective de $E$ dans $F$, il s'agit d'une question relative à la démonstration de l'égalité suivante : $\forall A,B\subset E, f(A \cap =f(A) \cap f(B)$

Pour démontrer une égalité ensembliste, on peut raisonner par double-inclusion. Dans le cas présent, on a toujours (1) $f(A \cap \subset f(A \cap $ et l'injectivité n'intervient pas. Par contre pour démontrer l'autre inclusion en se servant de l'injectivité, il n'y pas d'autres choix que de partir des deux égalités suivantes valables respectivement pour toutes parties $X,Y \subset E$ et $D \subset F$ : $f^{-1}(X \cap Y)=f^{-1}(X) \cap f^{-1}(Y)$ et $f(f^{-1}(D))=D \cap f(E)$.
(On pose $X=f(A),Y=f(B)$, et ensuite, $D=f(A) \cap f(B)$, tout fonctionne bien...)

Mais en faisant cela, il me semble qu'on démontre en même temps la première inclusion (1) qui est tjs vraie, puisqu'on arrive à une égalité à la fin de la rédaction.

Merci pour votre réponse,
Cordialement,
Clotho

christophe c

Quelle est ta question? Je vois bien qu'il y en a une, mais je ne l'indentifie pas vraiment clairement pour la raison suivante: dans ton post, il n'y a rien de "démontré" à strictement parler (ne le prends pas mal, je dis ça pour apporter quelque chose) dans la mesure où une démonstration doit rendre évident ou découper en enchainements évidents quelque chose.

Or tu utilises beaucoup de notations et admet des trucs semble-t-il plus douteux que la chose à prouver.

Je pense qu'un bon conseil à te donner est de ne pas trop user des notations f(..ensembles..), sinon tu dois faire appel à un par coeur pas très fixé pour tout ce que tu ne justifieras pas.

Contente-toi du minimum, à savoir celle utilisées dans la conclusion que tu veux et rien d'autre:

Si $x\in f(A\cap $ alors il existe $y\in A\cap B$ tel que $f(y)=x$ et donc il existe $y\in A$ tel que $f(y)=x$ et donc $x\in f(A)$ (idem pour B, et donc...)

Si $x\in f(A) \cap f(B)$ alors il existe $(y,z)\in A\times B$ tel que $f(y)=x$ et $f(z)=x$. Si f est injective alors $y=z$ et donc $y\in B$ et donc $y\in A\cap B$ et donc $\exists t\in A\cap B$ tel que $f(t)=x$ (en l'occurence y) et donc $x\in f(A\cap $

Ne fais pas confiance à des manières de procéder qui chargerait en "f(..ensemble..)" toutes les étapes de la preuve.

clothoide

Salut Christophe,

Ben moi aussi, je ne comprends pas ta réponse. Comme cela, on est 2

Tu as raison, j'aurais dû formuler autrement ma question qui est la suivante :

En démontrant l'inclusion non triviale (celle qui utilise l'injectivité), il me semble qu'on arrive à un résultat beaucoup plus "fort" une égalité qui prouve en même temps l'inclusion évidente, non?

J'ai un peu détaillé le début de la démonstration.

Merci
Clotho

GreginGre

Clotho,

je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

Soit tu démontres d'un coup l'égalité avec tes grosses égalités avec l'image réciproque, soit tu démontres la double inclusion. Ca ne sert à rien de mélanger les deux, ça serait redondant pour une des deux inclusions.

Pour éclaircir la réponse de Christophe, en gros il te dit qu'il n'est pas d'accord avec ton péremptoire " on n'a pas d'autre choix que"....et je suis d'accord avec lui.

D'ailleurs, il te donne une démonstration qui n'utilise pas ta grosse artillerie, et qui est quand même beaucoup plus simple et beaucoup plus claire.

clothoide

@GreinGre:

ok. Je me suis certainement mal exprimé dans mon premier post. Il n'a jamais été question de faire un mélange des deux types de démonstrations possibles.

Mais du coup, tu as bien répondu à ma question initiale. Avec ma méthode, on démontre bien l'égalité d'une seule traite.

Merci à vous deux,

Cordialement,
Clotho

Eric Chopin

Pour l'inclusion dans l'autre sens n'est il pas plus simple de dire que si $z$ est dans $f(A)\cap f(B)$
alors $z=f(a)=f(b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ et comme $a=b$ par injectivité....

a+

eric

Archimède

$f$ est une bijection de $E$ sur $f(E)$.
Et les bijections conservent toutes les notions ensemblistes : $\cap$, $\cup$, $\setminus$, $\Delta$, etc
Il n'y a rien de plus.

Archimède

Justifions par exemple pour $\cap$ :

$f:E\longrightarrow f(E)$ bijective donc
\begin{align*}
x\in A &\Longleftrightarrow f(x)\in f(A) \\
x\in B &\Longleftrightarrow f(x)\in f(B) \\
\intertext{D'où}
x\in A\cap B &\Longleftrightarrow f(x)\in f(A)\cap f(B)
\end{align*}
Autrement dit $f(A\cap =f(A)\cap f(B)$.

christophe c

Avec ma méthode, on démontre bien l'égalité d'une seule traite

mais imagine, je sais pas, disons un correcteur honnête mais passif. Il sait que tu te proposes de prouver que si f est injective alors $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap $

Et il lit :

Dans le cas présent, on a toujours (1) $f(A \cap \subset f(A \cap $ et l'injectivité n'intervient pas. Par contre pour démontrer l'autre inclusion en se servant de l'injectivité, (il n'y pas d'autres choix que) de partir des deux égalités suivantes valables respectivement pour toutes parties $X,Y \subset E$ et $D \subset F$ : $f^{-1}(X \cap Y)=f^{-1}(X) \cap f^{-1}(Y)$ et $f(f^{-1}(D))=D \cap f(E)$.
(On pose $X=f(A),Y=f(B)$, et ensuite, $D=f(A) \cap f(B)$, tout fonctionne bien...)

Il n'acceptera jamais ça: il dira un truc du genre "vous vous servez du (des???) résultat(s???) que vous voulez prouver" ou un truc dans le genre.

Tu lui demandes de "savoir par coeur": pour toutes parties $X,Y \subset E$ et $D \subset F$ : $f^{-1}(X \cap Y)=f^{-1}(X) \cap f^{-1}(Y)$ et $f(f^{-1}(D))=D \cap f(E)$.

Et d'ignorer: si f est injective alors $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap $ ????

Je te le dis autrement: imagine une fonction particulière qui est constante dans un devoir où on n'a pas à priori prouvé qu'elle est ne serait-ce que continue. Et toi tu dis "il est bien connu qu'elle est constante, donc elle est continue"

GreginGre

Je suis plutôt d'accord avec CC, sur ce coup là.

clothoide

@cc :
Je n'ai jamais dit que ce serait ma rédaction définitive. Et je n'ai pas posté ma rédaction détaillée.
Par contre, pour le reste, et pour les relations que j'utilise dans ma preuve, on peut tout même supposer qu'à partir d'un certain niveau, elles font partie de la culture générale de l'honnête homme qui se veut cultivé en mathématique, non?
Si on doit à chaque fois redémontré tous les résultats qu'on utilise dans une rédaction. On a pas fini...
Cordialement,
Clotho

zephir

Bonjour Clotho.

Apparemment, ce résultat te travaille toujours.
Les formules que tu invoques dans ta démonstration sont une surcharge inutile pour la mémoire, dans la mesure où on réussit presque toujours à s'en passer.
Cela dit, avec des égalités d'ensembles, on prouve une égalité. Cela n'a rien d'étonnant.

Amicalement,
zephir.

christophe c

à clotho, oui, mais il y a une sorte de hiérarchie classique, si "l'honnête homme" comme tu dis connait ton axiome de départ, il se doit de connaitre ton resultat.

Pardon d'avoir copié-collé une partie trop longue de ta citation, mais si on s'en tient à

pour toutes parties $X,Y \subset E$ et $D \subset F$ : $f^{-1}(X \cap Y)=f^{-1}(X) \cap f^{-1}(Y)$ et $f(f^{-1}(D))=D \cap f(E)$. ***
(On pose $X=f(A),Y=f(B)$, et ensuite, $D=f(A) \cap f(B)$, tout fonctionne bien...)

je ne connais pas grand-monde qui connait ça par coeur et "bien" et demanderait le corollaire dont tu parles

Par ailleurs, pour te prendre au mot, je vais faire un copié-collé de substitution dans ta formule "admise":

$f^{-1}(f(A) \cap f(B))=f^{-1}(f(A)) \cap f^{-1}(f(B))$ et $f(f^{-1}(f(A)\cap f(B)))=f(A)\cap f(B) \cap f(E)$.

il y a une petite étape supplémentaire et c'est lourd à lire.

Par ailleurs, comment prouves-tu ou expliques-tu que *** "devrait" faire partie du bagage plus que l'autre formule?

Quand on les voit comme ça, on voit des formules "à justifier" autant que l'autre je pense.

Mais pour répondre à ta question intiale, oui tu as bien, comme Zephir te le souligne que *** => l'égalité de ta conclusion, par simple jeu de substitution. Mais qu'est-ce qui te gênait dans ça?

clothoide

@Christophe.

Non, c'est juste que j'avais fait la rédaction détaillée de cet exo classique il y a plus d'une année. Et que je me suis amusé à le reprendre aujourd'hui. En haut de page, je m'étais noté l'inclusion classique f(AnB) inclus dans f(A)nf(B) sans m'en servir par la suite pour arriver à mon égalité finale.

Et grâce à vos explications, je suis bien convaincu que cette inclusion ne me sert à rien avec ma méthode. Comme le précise zephir, si j'utilise des égalités au départ, j'arrive à une égalité à la fin.

Mes idées sont à présent claires sur le sujet.

Bien cordialement,
Clotho