carrés et cubes dans suite de Fibonacci

Bonjour les amis,

J'essaie de démontrer en vain que les seuls carrés et cubes de le suite de Fibonacci sont 144 et 8.
Je suis parti des formules de Binet qui donnent l'expression de la suite à partir du nombre d'or, mais je bloque sur la méthode. Je bloque sur la méthode. Avez-vous une idée ?
Merci
A+

Réponses

  • Effectivement, ce n'est pas simple.
    Je vais potasser. Merci
  • Dans un autre sujet sur Fibonacci, BS donne le lien vers l'article suivant : http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-39/1/537.extract qui semble plus "soft" que le précédent.

    Quelqu'un aurait-il la possibilité de poster cet article sur le forum ?

    Merci d'avance.
  • Je poste le plan de l'article de JHE Cohn.

    On considère les deux suites d'entiers définies par~:
    $$F_0 = 0;\;F_1 = 1;\;F_{n+2} = F_{n+1}+F_n,\quad\textrm{ et }\quad L_0 = 2;\;L_1 = 1;\;L_{n+2} = L_{n+1}+L_n.$$
    On démontre~:
    \begin{align}
    \forall m,n \in \N,\; m\mid n &\Longrightarrow F_m \mid F_n\\
    \forall m,n \in \N,\;2F_{m+n} &= F_mL_n+F_nL_m \\
    \forall m,n \in \N,\;2L_{m+n} &= 5F_mF_n+L_nL_m \\
    \forall m,\in \N,\;L_{4m} &= L_{2m}^2-2 \\
    \forall m \in \N,\;\textrm{pgcd}\,(F_{3m},L_{3m}) &= 2 \\
    \forall m \in \N,\;3\nmid m &\Longrightarrow\textrm{pgcd}\,(F_{m},L_{m}) = 1
    \end{align} On démontre ensuite les lemmes suivants~:
    \begin{align*}
    \mathbf{L1}~: & ~ & \forall p \in \N,\; L_{6p} &\equiv 2 \pmod4. \\
    \mathbf{L2}~: & ~ & \forall r \in \N^*,\; L_{2^r} &\equiv 3 \pmod4. \\
    \mathbf{L3}~: &\textrm{(résidus quadratiques)}& \forall r \in \N^*,\; \left( \dfrac{-1}{L_{2^r}} \right) = -1,
    &\textrm{ et pour } r\geqslant2, \left( \dfrac{2}{L_{2^r}} \right) = 1. \\
    \mathbf{L4}~: & ~ & \forall r\geqslant2, \; &3\nmid L_{2^r}. \\
    \mathbf{L5}~: & ~ & \forall r \in \N^*,\;\forall \ell \in \N,\; F_{\ell+2^{r+1}} &\equiv -F_\ell \pmod{L_{2^r}}.
    \end{align*}
    Puis on démontre les théorèmes suivants~:

    T1 (d'après (2))~:
    Si $F_n$ est un carré dans $\N$, alors $n\equiv 0,1,2,6$ ou $11\pmod{12}$.

    T2 (d'après (2),(1) et L1)~:
    Si $n\equiv 6\pmod{12}$, alors $F_n$ n'est pas un carré dans $\N$.

    T3 (d'après L5 et L3)~:
    Soit $n=12p+q$ avec $p>0$ et $q\in\{-1,1,2\}$, $F_n$ n'est pas un carré dans $\N$.

    T4 (d'après L,5 L2, L4 et L3)~:
    Soit $n=24p+12$ avec $p>0$.
    \begin{enumerate}
    \item $F_n$ n'est pas un carré dans $\N$.
    \item $\frac12F_n$ n'est pas un carré dans $\N$.
    \end{enumerate}
    T5~:
    Soit $n\equiv 0\pmod{12}$. Si $F_n$ est un carré dans $\N$, alors $n=12$.

    Amicalement,
    e.v.

    [N'est-ce pas plus présentable comme ça ? ;) AD]
    Très présentable en effet, merci beaucoup Alain.
    Je viens de corriger une bouse de copiécollé au (6).
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Merci Gilles pour ce lien. La solution a l'air beaucoup plus simple ! Où est la poubelle ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • C'est intéressant de voir cette succession d'articles simplificateurs.

    Je mets l'article de Cohn en entier, merci à mon ami thésard. :)-D

  • Bonjour,

    Je n'arrive pas à montrer les égalités 5 et 6 du message d'ev. J'ai tenté une preuve comme celle qui conduit à $\textrm{pgcd}(F_n,F_m)=F_{\textrm{pgcd}(n,m)}$ mais sans succès (imitation de l'algorithme d'Euclide, par exemple ici : http://mpsiddl.free.fr/pdf/pb/pb006.pdf )
    L'article de Cohn semble suggérer une preuve à partir des formules "explicites" de $F_n$ et $L_n$ (celles obtenues en résolvant l'équation caractéristique), mais je ne vois pas apparaître de pgcd dans ce fatras.

    Merci d'avance.
  • Bonjour Gilles.

    Tu peux partir de
    $$\begin{pmatrix} F_{n+3} \\ L_{n+3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} F_n\\ L_n\end{pmatrix}.$$
    Tu inverses ta matrice et tu en déduis que pgcd$(F_{n+3}, L_{n+3} ) \mid 3$ pgcd$(F_{n}, L_{n} )$. Tu termines en regardant les congruences modulo 3 pour$F_{n}$ et $L_n$.

    amicalement,

    e.v.

    PS C'est moi ou LaTeX est capricieux ce matin ?
    PPS C'est moi ! Quelqu'un aurait un hectolitre de café dont il ne saurait que faire ?
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Grompf !
    Le premier hecto n'a pas suffi.

    Tu as pgcd$(F_{n+3}, L_{n+3} ) \mid $ pgcd$(F_{n}, L_{n} )$.
    En inversant la matrice (de déterminant 3) tu as
    pgcd$(F_{n}, L_{n} ) \mid 3$ pgcd$(F_{n+3}, L_{n+3} )$.
    Tu termines en regardant les congruences modulo 3 pour$F_{n}$ et $L_n$ et un petit lemme de Gauss pour touiller.

    Ca devrait aller, je vais pouvoir me coucher...

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bonjour,

    Pour calculer pgcd($F_n,L_n)$ on peut aussi utiliser la relation $L_n=F_n+2F_{n-1}$ (vraie pour $n=1$et $n=2$ donc pour tout $n$ puisque les suites vérifient la même récurrence linéaire):
    pgcd($L_n,F_n$)=pgcd($F_n,2F_{n-1})$=pgcd($F_n,2$) car pgcd($F_n,F_{n-1})$=1.

    Enfin la suite $(F_n)$ modulo 2 a pour période 3.
  • Merci à vous deux pour ces méthodes bien différentes.

    Bonne soirée (nuit pour ev),
    Gilles.
  • Re-bonsoir,

    Je note $d_n=\textrm{pgcd}(F_n,L_n})$.

    ev, je crois que tu as écrit les relations de divisibilité à l'envers. En effet, grâce à ton écriture matricielle, on a $d_n$ qui divise $F_{n+3}$ et $L_{n+3}$, donc $d_n$ divise $d_{n+3}$. Ensuite après inversion j'en déduis que c'est d_{n+1} qui divise $3d_n$. Il est possible que je sois très fatigué...

    On arrive alors à l'existence de $a$ et $b$ entiers naturels tels que $ad_n=d_{n+3}$ et $3d_n=bd_{n+3}$, d'où $ab=3$. J'aimerais en déduire que $a=1$ et $b=3$ (et donc $d_n=d_{n+3}$), mais le cas $a=3$ et $b=1$ (ie $d_{n+3}=3d_n$) ne me semble pas immédiat à évacuer. C'est là que tu veux utiliser Gauss ?

    Merci.
  • Oui, tu as raison. Correction du matin, boudin !
    Pour la suite tu regardes modulo 3~:
    $F_0 \equiv 0 \quad F_1 \equiv 1 \quad F_2 \equiv 2 \quad F_3 \equiv 0 \quad F_4 \equiv 2 \quad F_5 \equiv 2 \quad F_6 \equiv 1 \quad F_7 \equiv 0 \quad F_8 \equiv 1 \quad F_9 \equiv 1 \ldots$
    $L_0 \equiv 2 \quad L_1 \equiv 1 \quad L_2 \equiv 0 \quad L_3 \equiv 1 \quad L_4 \equiv 1 \ldots$
    et tu constates qu'on n'a jamais $3$ qui divise à la fois $F_n$ et $L_n$.
    Et là un coup de Gauss pour finir.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Ah oui parfait c'est l'argument qui me manquait. Tu ne m'en voudras cependant pas si je préfère la méthode de Jandri. :D

    Amicalement,
    Gilles.
  • Merci pour ces belles démos !
  • Gilles,

    La méthode de jandri est de très loin la plus élégante. Elle comporte une idée instructive (vraie pour $ n=1$ et $ n=2$ donc pour tout $ n$).

    J'aime bien montrer les matrices au travail. Mais il faut avouer que la fin de ma solution est passablement lourdingue.

    C'est la vie !

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


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