Propriété de la borne sup

Bruno_1

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de moi quant à l'utilisation d'une propriété de la borne sup et je souhaitais vous poser une question à ce sujet.

1) Théorie.

On munit $\R$ de la distance usuelle : $d : \R \times \R \to \R_+$, $(x,y) \mapsto |x-y|$.

Soit $A$ une partie bornée de $\R$ et notons $S$ sa borne supérieure. Alors, on sait que, pour tout $c \in A$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que :
$c + \varepsilon > S$ (il suffit de prendre $\varepsilon = d(c, S) +1$).

Supposons à présent qu'on "dilate" ou "contracte" $A$ par une homothétie : soit $h_\alpha : A \to \R$, $x \mapsto \alpha x$ où $\alpha > 0$.

Dans ce cas, si on considère un $c$ dans $A$ (je dis bien $c$ dans $A$ et pas dans $h_\alpha(A)$) : est-ce qu'on peut toujours dire qu'il existe un $\varepsilon > 0$ tel que : $c + \varepsilon > \alpha S$ ? (Par exemple, on pourrait prendre $\varepsilon = d(c, \alpha S) + 1$.)

2) Application.

Soit $f : [a,b] \to \R$ une application continue. Alors elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe ainsi $\xi \in [a,b]$ tel que :
$|f(\xi)| = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)| = \|f\|_\infty$.

Soit à présent $c \in [a,b]$, alors il existe $\varepsilon > 0$ tel que : $|f(c)| + \varepsilon > |f(\xi)|$ : on peut prendre $\varepsilon = d(|f(c)|, |f(\xi)|) + 1$.

Supposons à présent $\alpha > 0$ et $c \in [a,b]$. Dans ce cas, peut-on toujours trouver un $\varepsilon > 0$ tel que :
$|f(c)| + \varepsilon > \alpha |f(\xi)|$ ?


Merci d'avance pour vos réponses.

gerard0

Bonjour.

Bizarre, ta propriété :
Soit $ A$ une partie bornée de $ \mathbb{R}$ et notons $ S$ sa borne supérieure. Alors, on sait que, pour tout $ c \in A$, il existe $ \varepsilon > 0$ tel que :
$ c + \varepsilon > S$ (il suffit de prendre $ \varepsilon = d(c, S) +1$).

Elle n'utilise nullement le fait que $S$ est la borne supérieure (ni même un majorant !), elle est même vraie pour tout choix de $S$ et d'une partie non bornée.

N'aurais-tu pas inversé les rôles de $c$ et $ \varepsilon > 0$ ? Il y a en effet une caractérisation de la borne supérieure (parmi les majorants) donnée par :
Soit $ A$ une partie bornée de $ \mathbb{R}$ et notons $ S$ sa borne supérieure. Alors, on sait que, pour tout $ \varepsilon > 0$, il existe $ c \in A$ tel que :
$ c + \varepsilon > S$.

Cordialement.

Bruno_1

Merci beaucoup pour ta réponse, Gérard.

En effet, je me suis complètement emmêlé les pinceaux avec la propriété caractérisant la borne sup. Je savais bien que quelque chose ne tournait pas rond dans ce que j'écrivais et, en fait, comme tu dis j'ai inversé les rôles de $c$ et $\varepsilon$.

A bientôt sur le forum,