Nombres de Dudeney

Bonjour, je cherche une démonstration pour démontrer qu'il n'existe que 6 nombres dit de Dudeny vérifiant :
Ces nombres sont des cubes
La somme de leur chiffre vaut la ranine cubique du nombre.

J'arrive à les trouver en faisant une programmation javascript, mais j'ai aucune idée de démonstration.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci

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