Générateur infinitésimal

sheeper

Bonjour, j'ai du mal a cerner qqch... je connais le generateur de $W_t$ mouvement brownien réel, ok, mais comment calculer le générateur du couple $(W_t, t)$, pour t réel, par exemple ?
merci de votre aide

alekk

Intuitivement:
tu connais le generateur d'un Brownien; pour toute fonction test $\varphi$ on a
\[\lim_{s \to 0} \mathbb{E} \Big[\frac{\varphi(W_{t+s})-\varphi(W_{t})}{s} \, | W_t=x \Big] = \frac{1}{2} \varphi^{"}(x) \]
Cela peut se voir avec la formule d'Ito, ou plus intuitivement, en negligeant les termes d'ordre $\geq 3$, en ecrivant
\[ \varphi(W_{t+s}) = \varphi(W_{t}) + \varphi'(W_{t}) \cdot (W_{t+s}-W_{t}) + \frac{1}{2}\varphi^{"}(W_{t}) \cdot (W_{t+s}-W_{t})^2 + \text{(error term)}\]
et en prenant l'esperance conditionnelle.

Maintenant, que cela donne t il si tu fais exactement la meme chose, avec une fonction test $\varphi(x,t)$ et calcules
\[\lim_{s \to 0} \mathbb{E} \Big[\frac{\varphi(W_{t+s}, t+s)-\varphi(W_{t}), t}{s} \, | W_t=x \Big]. \]
Alternativement, tu peux aussi essayer avec Ito.

sheeper

Oui en effet, je viens de comprendre avec la formule de Dynkin