Problème d'équations horaires

jeremyjeff

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre ce problème :


Deux bateaux, A et le B, se déplacent sur un plan d'eau à la vitesse de 35 km/h.
Ils suivent deux droites différentes qui sont perpendiculaires. Ils se dirigent vers leur point de concours.
A se trouve à 6,5 km de ce point, et B à 24 km.
Un homme veut plonger de A pour nager vers le B à la vitesse de 1,5 km/h.
Dans combien de minutes devra-t-il plonger afin de nager le moins longtemps possible ?

J'ai mis en équations de la manière suivante :
On se place dans un repère orthonormé.
A a pour équation horaire : x = -6,5 + 35 t
B a pour équation horaire : y = 24 - 35 t

Si t0 est l'instant où le nageur part à la rencontre de B, son équation horaire est :
x = -6,5+35t0+(1,5 cos(alpha) )* (t-t0)
y = (1,5 sin(alpha)) (t-t0)

Le point de rencontre est à x = 0 et y = -6,5 + 35 t

Ce qui donne une équation en t0 et alpha, mais je n'arrive pas à trouver t0

Quelle est la bonne méthode.
je vois bien qu'il y a une minimisation quelque part, mais je n'arrive pas à mettre en équations.

merci pour votre aide (et bonne année à tout l'équipe)

remarque

Il faut d'abord déterminer α en fonction de t₀, puis calculer la durée de nage en fonction de t₀, puis minimiser cette durée. Ou peut-être l'inverse, si c'est plus simple, ie t₀ en fonction de α, puis etc.

jeremyjeff

Merci pour la réponse :

Je trouve dans ce cas :
t rencontre= (-6,5-35*t0)/ (1,5 cos(alpha) +t0 = (1,5 sin(alpha)* t0+6,5)/(35 - 1,5 sin(alpha))

C'est une équation relativement complexe, je ne vois pas comment m'en sortir pour minimiser la distance parcourue.

Merci
A+

remarque

Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais on dirait bien une équation linéaire en t₀. Tu peux donc facilement obtenir t₀ en fonction de α, puis minimiser par rapport à α.

jydu56

Je ne sais pas si cela a encore un sens, mais je t'ai envoyé une solution à ton problème en Latex...
J'ai poussé la solution jusqu'au calcul numérique...
Je me suis placé dans le repère fixe $Oxy$ construit sur la trajectoire des deux bateaux $A$ et $B$.
J'ai aussi une autre solution calculée dans le repère mobile $(S_1)$ lié au bateau $B$, mais je ne l'ai pas rédigée en Latex.

jeremyjeff

Bonjour,

Où est la répone ?

Merci

jydu56

Je l'ai rédigée en latex, et je t'ai envoyé le résultat en pdf....

jydu56

J'ai trouvé $t_1=0.20000$ heure soit $12$ mn. Je t'ai joint la solution complète sous forme d'un pdf.

jydu56