série entière

Bonsoir,

Soient $\rho_1$ le rayon de convergence de la série entière $\sum a_nz^n$, $\rho_2$ le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n e^{\ln^{\alpha}n}z^n$ ($\alpha$ est un réel).

Soit $z \in \C$ tel que $0<|z|<\rho_1$ et $\lambda >0$ tel que $|z|< \lambda<\rho_1$.

En écrivant que : $|a_n| e^{\ln^{\alpha}n}|z|^n= |a_n| \times \lambda^n \times e^{\ln^{\alpha}n} \Big(\dfrac{|z|}{\lambda}\Big)^n$, je montre sans problème que les deux quantités $|a_n| \times \lambda^n$ (1) et $e^{\ln^{\alpha}n} \Big(\dfrac{|z|}{\lambda}\Big)^n$ (2) tendent vers $0$.

Ma question :

Je peux donc en déduire que la limite du produit de mes 2 quantités (1) et (2) est aussi nulle. Par conséquent la limite de l'expression
$|a_n| e^{\ln^{\alpha}n}|z|^n$ est nulle, ce qui signifie que $|z| \leq \rho_2$

Oui?

Merci pour votre réponse,
Cordialement,

Clotho

Réponses

  • Bonsoir Clotho,

    De manière plus générale, les deux séries entières de terme général $a_n z^n$ et $a_n.n^{o(n)}z^n$ ont même rayon de convergence. D'autre part, on a $e^{\ln^{\alpha}n}=n^{\ln^{\alpha-1}n}$ et on sait que $\ln^{\alpha-1}n$ est un "petit o" de $n$.

    Amicalement,
    zephir.
  • Bonjour zephir,

    Merci pour la précision.

    Amicalement,
    Clotho

    edit : je suis un peu rouillé sur les exposants. Pour obtenir l'égalité $e^{\ln^{\alpha}n}=n^{\ln^{\alpha-1}n}$, on écrit bien que $e^{\ln^{\alpha}n}=e^{\ln n}e^{\ln^{\alpha-1}n}=ne^{\ln^{\alpha-1}n}$. Mais ensuite, je ne vois pas comment tu fais pour obtenir en exposant de $n$ la quantité $\ln^{\alpha-1}n$?
  • Il ya un leger probleme dans ta ligne, lequel?
  • @Bug : oui, je suis bien rouillé avec mes exposants :)

    Bon, je m'arrête à $e^{(\ln n)^{\alpha-1} \ln n}$. Après je vois pas comment faire pour retomber sur l'expression finale de zephir.
  • C'est toujours la même formule qu'il faut utiliser... courage
  • Salut Clotho,

    D'abord la petit faute signalée par Bug :
    Clotho a écrit:
    on écrit bien que $e^{\ln^{\alpha}n}=e^{\ln n}e^{\ln^{\alpha-1}n}$
    Ici tu écris essentiellement que $e^{ab}=e^a e^b$, alors que la bonne formule est $e^{a+b}=e^a e^b$.

    Ensuite :
    Clotho a écrit:
    je m'arrête à $e^{(\ln n)^{\alpha-1} \ln n}$
    Est-ce qu'il n'y aurait une formule sympathique avec du $c \ln y=\cdots$ ?
  • Ouai, je vois tjs pas. La seule formule que je connaisse ici est $e^ae^b=e^{a+b}$.
    Bon, ce n'est pas non plus tragique si je bloque temporairement là-dessus.
    J'avoue avoir un peu perdu mes automatismes par manque de pratique sur ces choses basiques.

    edit : egoroffski, nos réponses se sont croisées. Oui, bug a bien raison. Je me suis planté dans ma formule avec mes exposants. Mais, je vais bien finir par obtenir le résultat de zephir. Là, je dois y aller. Donc ce sera l'année prochaine...

    A+
    Clotho
  • Ici la formule à connaitre est $e^{ab}=(e^a)^b$, et ... $e^{\ln n}=n$
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