votre avis

Bonjour,

Que pensez-vous de la rédaction suivante pour prouver la convergence de la quantité $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt$ ?

C'est extrait d'un ouvrage que je viens de me procurer récemment (je pourrais préciser le titre). Je mets (ok) lorsque la rédaction ne me pose pas de problèmes. Et je précise en gras mes doutes.

La fonction $t \rightarrow e^{-t^2}$ est continue sur $\R_{+}$, et au voisinage de l'infini, $e^{-t^2}= o(\dfrac{1}{t^2})$ car $t^2e^{-t^2} \rightarrow 0 \quad (t \to +\infty)$ (ok). Or $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2} dt$ converge donc $\int_{1}^{+\infty} e^{-t^2}dt$ converge d'où $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}dt$ converge (ok)

Ensuite, via le changement de variable de classe $C^1$ et strictement décroissant (intérêt de la décroissance?) $t=-u$ sur $]-\infty,0]$, $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}dt$ est de même nature que $\int_{-\infty}^{0} e^{-t^2}dt$ (pas d'accord : j'aurais écrit $\int_{-\infty}^{0} e^{-t^2}dt$ est de même nature que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}dt$).

Donc $\int_{-\infty}^{0} e^{-t^2}dt$ converge et $\int_{-\infty}^{0} e^{-t^2}dt=\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}dt$ (le pourquoi de l'égalité?)

Merci pour vos réponses,

Bien cordialement
Clotho

Réponses

  • Bonjour.

    Sur le "pas d'accord", je ne vois pas la différence : "être de même nature" est symétrique.
    Sur l'égalité, c'est le résultat du changement de variable.

    Cordialement.
  • $t \mapsto e^{-t^2}$ est une fonction continue paire. Si elle est intégrable en $+\infty$ elle l'est aussi en $-\infty$.

    En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'âneries.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • L'égalité vient de la parité de la fonction à intégrer. (Un petit dessin t'en convaincra)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.