Questions diverses

Bonsoir,

Je vais enfin avoir le temps de refaire un peu de math.

Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement $>0$ telle que $\sum u_n$ diverge et $(S_n)_{n \geq 1}$ la suite des sommes partielles associées à cette série.

Soient $p\geq 1$ un entier tel que $\frac 1 p < \alpha$ et $n \geq N+1$, il n'est pas évident pour moi d'écrire directement que :

$$S_{n-1}^{1/p} < S_{n-1}^{\alpha}$$

Pourriez-vous me fournir quelques indices de compréhension ?
Merci à vous,
Cordialement,
Clotho

edit : et bonnes fêtes de fin d'années à tous les intervenants du Forum

Réponses

  • Bjr,

    Et si tu prends le log des deux cotés?
  • @bug : je n'avais pas pensé au log. Dans ce cas, en partant de $1/p < \alpha$, on écrirait que $1/p \ln S_{n-1} < \alpha \ln S_{n-1}$. Ce qui donne encore $\ln (S_{n-1}^{1/p}) < \ln (S_{n-1}^{\alpha})$ pour conclure par passage à l'exponentielle. Oui?
  • Oui, mais n'oublie pas le cas $S_{n-1}=1$?
  • Bonsoir Clothoïde.

    Comme tu n'as jamais dit ce qu'est $N$, il est possible que ça n'arrive pas dans ton problème, mais que se passe-t-il si $ S_{n-1}<1$ ?

    Cordialement.
  • gloups...
  • Oui, effectivement, j'ai été un peu vite en besogne.
    Pour exclure le cas possible où $S_{n-1}=1$, j'exploite le fait que $\sum u_n$ diverge. Donc la suite des sommes partielles $(S_n)$ n'est pas majorée : ce qui signifie encore $S_n \to +\infty \quad (n \to +\infty)$. Donc il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N$ implique $S_n>1$.

    Correct?

    edit : Gérard, nos réponses se sont croisées. Et je réponds ainsi à ta question sur ma définition de $N$.
  • C'est ce qui me semblait le plus probable. Donc pas de souci.
  • Bon, merci à vous deux.

    Cordialement,
    Clotho
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