Produit de séries...
Bonjour,
Je dispose d'un peu de temps libre pour refaire un peu de math, donc j'en profite (jusqu'à demain seulement).
Ma question concerne la démonstration de l'énoncé suivant : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres positifs. On pose $w_n= \sum\limits_{k=0}^{n} u_k v_{n-k}$. Si les séries sont positives alors :
$$\Big(\sum_{n=0}^{\infty} u_n\Big)\Big(\sum_{n=0}^{\infty} v_n\Big)= \sum_{n=0}^{\infty} w_n$$
L'auteur de ma démonstration procède comme suit :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'origine $O$, considérons le carré $C_n=[0,n] \times [0,n]$ et le triangle rectangle isocèle $T_n$ dont l'angle droit est en $O$, qui est la moitié du carré $C_n$.
Un dessin est joint à la démo. Et jusque là, tout semble très simple.
De ce dessin, il en déduit que $T_n \subset C_n \subset T_{2n}$, et donc que : $\displaystyle \sum_{(p,q) \in T_n} u_pv_q \leq \sum_{(p,q) \in C_n} u_pv_q \leq \sum_{(p,q) \in T_{2n}} u_pv_q$.
Mes questions.
1°) je ne comprends pas sur quel critère il se base pour affirmer son inclusion $T_n \subset C_n \subset T_{2n}$
2°) le lien entre $T_n$ par exemple et $\sum\limits_{(p,q) \in T_n} u_pv_q$
3°) ensuite, l'auteur affirme que $\sum\limits_{(p,q) \in C_n} u_pv_q$ (1) n'est autre que le produit $\big(\sum\limits_{n=0}^{n} u_n\big)\big(\sum\limits_{n=0}^{n} v_n\big)$ (2). Je vois pas trop ce qu'il veut dire ? Et surtout quel est le lien entre la première somme (1) et la seconde (2) ?
Si vous pouviez me fournir quelques clés de compréhension, ça serait bien.
En vous remerciant,
Clotho
Je dispose d'un peu de temps libre pour refaire un peu de math, donc j'en profite (jusqu'à demain seulement).
Ma question concerne la démonstration de l'énoncé suivant : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres positifs. On pose $w_n= \sum\limits_{k=0}^{n} u_k v_{n-k}$. Si les séries sont positives alors :
$$\Big(\sum_{n=0}^{\infty} u_n\Big)\Big(\sum_{n=0}^{\infty} v_n\Big)= \sum_{n=0}^{\infty} w_n$$
L'auteur de ma démonstration procède comme suit :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'origine $O$, considérons le carré $C_n=[0,n] \times [0,n]$ et le triangle rectangle isocèle $T_n$ dont l'angle droit est en $O$, qui est la moitié du carré $C_n$.
Un dessin est joint à la démo. Et jusque là, tout semble très simple.
De ce dessin, il en déduit que $T_n \subset C_n \subset T_{2n}$, et donc que : $\displaystyle \sum_{(p,q) \in T_n} u_pv_q \leq \sum_{(p,q) \in C_n} u_pv_q \leq \sum_{(p,q) \in T_{2n}} u_pv_q$.
Mes questions.
1°) je ne comprends pas sur quel critère il se base pour affirmer son inclusion $T_n \subset C_n \subset T_{2n}$
2°) le lien entre $T_n$ par exemple et $\sum\limits_{(p,q) \in T_n} u_pv_q$
3°) ensuite, l'auteur affirme que $\sum\limits_{(p,q) \in C_n} u_pv_q$ (1) n'est autre que le produit $\big(\sum\limits_{n=0}^{n} u_n\big)\big(\sum\limits_{n=0}^{n} v_n\big)$ (2). Je vois pas trop ce qu'il veut dire ? Et surtout quel est le lien entre la première somme (1) et la seconde (2) ?
Si vous pouviez me fournir quelques clés de compréhension, ça serait bien.
En vous remerciant,
Clotho
Réponses
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1°) Puisque $T_n$ est "la moitié du carré" $C_n$, il est clair que $T_n\subset C_n$. Pour l'autre inclusion, pour voir que le carré $C_n$ est inclus dans le triangle $T_{2n}$, il suffit de remarquer que les quatre sommets du carré appartiennent au triangle, ce qui est plus ou moins évident. Les points sont $(0,0)$, $(0,n)$, $(n,0)$ et $(n,n)$.
2°) Question mal posée ? La réponse est évidente... Je vois que $T_n$ est écrit dans la somme pour dire dans quel ensemble on doit prendre le couple $(p,q)$. Par contre il peut être intéressant de remarquer que cette somme n'est autre que $\displaystyle\sum_{k=0}^n w_k$.
3°) Curieuse question de nouveau... Il veut dire que les deux sommes sont égales. C'est une conséquence de la distributivité. A prouver par récurrence si pas convaincu ?
Je me demande si le problème ne vient pas du fait que tu ne vois pas vraiment bien à quoi ressemble $C_n$ et $T_n$.
Je t'invite à écrire les sommes qui rentrent en jeu dans la démonstration pour de petites valeurs de $n$ pour te convaincre que tout ceci a du sens. -
Bonjour Clotho.
1°) Regarde sur le dessin. Plus tu rajoutes des termes positifs, plus tu obtiens des nombres plus grands.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
En fait ev, la question ne porte même pas sur ce point là (la double inégalité avec les sommes) mais sur des choses plus élémentaires... Je me demande bien pourquoi ça coince comme ça !
-
Bonjour à vous deux,
Je dois avouer que Philippe a bien raison.
Le dessin en soi ne me pose aucun problème. Par contre, ce sont les conséquences qui en découlent en terme de "sommes de produit uv" qui restent problématiques, et là je coince sans vraiment comprendre pourquoi:S
En partant de ce dessin, je peux simplement déduire des inclusions en terme d'aires.
Clotho
Merci Alain pour la remise en page.
[A ton serviceAD]
-
Bonjour Clotho,
La diagonale du carré \(C_n\) qui a pour sommets \((n,0)\) et \((0,n)\) a pour équation : \(p+q=n\).
Donc le triangle \(T_n\) est défini par l'inégalité \(p+q \leqslant n\), et :
\[\sum_{(p,q)\in T_n} u_pv_q = \sum_{p+q \leqslant n} u_pv_q = \sum_{k=0}^n \sum_{p+q=k} u_pv_q = \sum_{k=0}^n \sum_{p+q=k} w_k.\] -
Bonjour gb,
Ok pour la diagonale du carré, mais ensuite le reste de ta réponse est invisible
En fait, je ne vois pas trop le sens à donner au point de coordonnées (n,n) par exemple, dans mon repère ainsi défini.
Je n'ai jamais effectué de tels raisonnements, qui sont certainement élémentaires pour vous : j'en conviens volontier.
Cordialement,
Clotho -
Dans la case $(n,n)$ tu places le terme positif $u_nv_n$.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Bonjour!
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