fonction gamma

clothoide

Bonsoir,

Un rapide passage sur mon site de math préféré pour vous demander de l'aide, car je n'ai pas trouvé mon bonheur dans la littérature (solution simple)

Comment feriez-vous pour montrer sans passer par les fonctions complexes que : $\Gamma(x)=\dfrac{(n-1)! n^x}{x(x-1)\cdots(x-n+1)}$ en partant de l'intégrale définie par : $\int_{0}^{n} (1-x/t)^{n}t^{x-1} dt$ (possible que je fasse une erreur dans cette intégrale car c'est de mémoire que je vous la donne).

Par contre, je suis certain des bornes d'intégration, et qu'il faut faire une IPP avec le changement de variable $u=x/t$. Il s'agit d'une correction qui utilise cette méthode, mais je n'arrive pas à la comprendre. J'ai bien compris qu'à la fin, ils font tendre n vers l'infini pour retomber sur Gamma, mais loin d'être évident pour la suite.

Merci pour votre aide,

Clothoide

aléa

Bah, c'est faux. Prendre $x=n$, par exemple.

jean lismonde

bonjour Chloto

en fait l'intégrale qui t'intéresse est

intégrale de 0 à n de (1 - t/n)^n.t^(x-1).dt
qui pour n infini tend vers Gamma(x)

quant à l'expression de Gamma(x) sous forme d'une fraction algébrique, il s'agit en fait de
Gamma(x+1)/Gamma(x+n) = 1/[(x+1)(x+2).........(x+n)]

ou encore sous forme de limite d'un rapport
1/Gamma(1+x) = limite pour n infini de [(1+x)(1+x/2).......(1+x/n)]/n^x

pour passer de la première forme (intégrale) de Gamma à la troisième expression
il convient de développer le binôme d'exposant n sous le signe intégral, intégrer terme à terme
et utiliser un résultat d'algèbre lié à la décomposition des fractions rationnelles

n!/[x(x+1).......(x+n)] = somme pour k variant de 0 à n de (-1)^k.(k;n)/(x+k)

avec (k;n) expression du coefficient "k dans n" du monôme de degré k
dans le développement du binôme de Newton d'exposant n

cordialement

maeloumalo

Bonjour clothoide,

Il y a une solution dans :
MONIER MP ANALYSE (4e édition) 5.1.38 page 332.

Cordialement.

zephir

Bonjour Clotho,
Le résultat que tu veux démontrer ne serait-il pas : $$\Gamma(x)=\lim_{n\to \infty}\dfrac {n^x\,n!}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}$$Si c'est le cas il suffit de remarque que $$\dfrac {n^x\,n!}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}=\int_0^n\big(1-\dfrac t n\big)^n\,t^{x-1}\,dt,$$puis de démontrer que le second membre tend vers $\Gamma(x)$ quand $n\to\infty$

pasquar

zephir écrivait:

---

> suffit de remarquer que $\displaystyle \dfrac {n^x\,n!}{x(x+1)(x+2)\ldots(x+n)}=\int_0^n\big(1-\dfrac t n\big)^n\,t^{x-1}\,dt,$
> puis de démontrer que le second membre tend vers $\Gamma(x)$ quand $n\to\infty$

Euh ça se démontre comment ça ? IPP ?
Merci.

clothoide

Bonsoir,

Merci pour vos réponses.

@aléa : tu as raison, je me suis trompé dans ma formule. Je suis désolé d'avoir été imprécis, mais je n'avais pas mon énoncé à disposition lors de ma rédaction initiale, et j'ai fait appel à ma mémoire, et à ses égarements...

@zephir : oui, c'est exactement cette égalité rectifiée que je souhaite démontrer. Dans ma correction, ils partent de la quantité $\int_0^n\big(1-\dfrac t n\big)^n\,t^{x-1}\,dt,$, puis en mentionnant par IPP successives le résultat attendu. J'ai tourné cela dans tous les sens, j'y arrive pas.

Je veux bien quelques détails en plus.

Les seules démonstrations que j'ai trouvées dans la littérature font appel aux fonctions complexes. Mais je n'y comprends pas grand chose pour l'instant.

Merci d'avance,

Cordialement,
Clotho

pasquar

moi bizarrement le n^x apparaît en bas...?

zephir

Pour démontrer la formule $$ \dfrac {n^x\,n!}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}=\int_0^n\big(1-\dfrac t n\big)^n\,t^{x-1}\,dt,$$On fait dans l'intégrale le changement de variable $t=nu$. Les bornes deviennent$0$ et $1$ et $t^{x-1}dt$ devient $n^xu^{x-1}du$. On obtient ainsi : $$\int_0^n\big(1-\dfrac t n\big)^n\,t^{x-1}\,dt=n^x\int_0^1\big(1-u\big)^n\,u^{x-1}\,du=n^xI_n(x).$$Le calcul de $I_n(x)$ par IPP donne $I_n(x)=\dfrac n x I_{n-1}(x+1)$. En répétant, on obtient $$I_n(x)=\dfrac{n!}{x(x+1)..(x+n-1)}I_0(x+n)$$ c'est-à-dire le résultat annoncé.

clothoide

Bonsoir,

Merci tardivement à zephir pour avoir répondu à ma question.

A bientôt
Cordialement,
Clotho